Achsensymmetrie, Welche Zahlen haben gerade Exponenten?
Hallo,
ich bin mir da leider total unsicher:
Bei einer allgemeinen Formel:
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Wie würde die Funktion heissen, wenn sie achsensymmetrisch lauten soll? Muss man dx und e dann angeben oder fallen beide weg?
3 Antworten
(Vorbemerkung: Achsensymmetrie kann nur bezüglich der y-Achse vorliegen - sonst hätten wir keine Funktion. Ausnahme: die Nullfunktion.)
Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse bedeutet, dass Vertauschen von x und -x dieselbe Figur ergibt. (x -> -x bedeutet ja gerade die Spiegelung an der y-Achse.)
D. h. f(x) = f(-x)
Einsetzen der Funktionsterme:
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(-x)^4 + b(-x)^3 + c(-x)^2 + d(-x) + e
= a (-1)^4 x^4 + b (-1)^3 x^3 + c (-1)^2 x^2 + d (-1)^1 x + e
= a x^4 - b x^3 + c x^2 - d x + e
Subtrahieren wir auf beiden Seiten den rechten Funktionsterm, erhalten wir:
2 b x^3 + 2 d x = 0
Da dies für alle x gelten soll, folgt
b = 0 und d = 0
(z. B. durch Einsetzen zweier verschiedener geeigneter x-Werte - vgl. auch Koeffizientenvergleich)
Damit bleibt übrig:
f(x) = ax^4 + cx^2 + e
(Anmerkung: Wie du siehst, bleiben hier nur gerade Potenzen von x übrig - e kann man ja auch schreiben als e * x^0. Deshalb nennt man Funktionen, die zur y-Achse achsensymmetrisch sind, auch "gerade Funktionen", selbst wenn sie keine Polynomfunktionen - oder auch gebrochenrationale Funktionen; auch hier bleiben nur gerade Potenzen übrig - sind. - Auch die Nullfunktion lässt sich hier einordnen, wenn man ihr auch keinen Polynomgrad zuordnet.
Entsprechend nennt man Funktionen, die zum Ursprung punktssymmetrisch sind, "ungerade Funktionen". Rechne selbst nach, was bei f(x) = -f(-x) an Summanden vom Funktionsterm übrig bleibt.)
Hallo Cliche,
es gibt Funktionen, die achsensymmetrisch, punktsymmetrisch sind oder gar keine Symmetrie zum Ursprung haben.
Achsensymmetrisch sind die graphen, wenn du jetzt quasi das Koordinatensystem von links nach rechts umklappst und zwar mit der y-achse als kante. Decken sich dann der linke und rechte teil des graphen, ist die Funktion y-achsensymmetrisch.
Punktsymmetrisch ist ein graph dann, wenn du jeden beliebigen punkt des graphes mit dem ursprung verbinden kannst und wenn du diese Linie dann nochmal genauso lang weiterzeichnest, du erneut auf einen punkt des graphen triffst!
An einer Funktion kannst du das folgendermaßen erkennen:
Nachweis Achsensymetrie:
f(x)= f ( - x )
bzw. nur gerade Exponenten
Nachweis Punktsymetrie:
f(x)= - f( - x )
bzw. nur ungerade Exponenten
Wenn beides nicht zutrifft bzw. wenn es ungerade und gearde Exponenten gibt keine Symmetrie vor.
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Du hast hier sowohl gerade, als auch ungerade Exponenten, also hätte diese Funktion keine Symmetrie zum Ursprung.
Sie wäre z. b so Achsensymmetrisch: ax^4+cx^2+e
Das ist aber ja nur die Allgemeine Form. Man hat ja für a, b etc. irgendwelche Zahlen und soll dann das Symmetrieverhalten bestimmen.
LG Wunderkerze2015
Liebe/r Cliche,
die dir hier vorliegende Form hätte gar keine Symmetrie. :)
Die Achsensymmetrie
Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
f(x) = f(-x)
Das ist bei Polynomfunktionen genau dann der Fall, wenn der Exponent gerade ist (bzw. wenn alle Exponenten gerade sind). Gerade heißt, dass die Zahl die Form n = 2k hat, sprich, durch 2 teilbar ist. Das heißt für unsere Funktion also: Keine Glieder in der Funktion, deren Exponenten nicht durch 2 teilbar sind! Ein Beispiel für eine solche Funktion wäre:
f(x) = -x^4 +2
Nachweis, dass eine Achsensymmetrie vorhanden ist:
-x^4 +2 = -(-x)^4 +2
Wie du hoffentlich weißt, ist eine negative Zahl mit einem geraden, positiven Exponenten potenziert immer eine positive Zahl, also erhalten wir:
-x^4 +2 = -x^4 +2
=> Es liegt eine Achsensymmetrie vor.
Die Punktsymmetrie
Die Punktsymmetrie ist vorhanden, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
f(x) = -f(-x)
Das heißt, bei der Polynomfunktion müssen alle Exponenten ungerade sein, d.h., die Zahl 2 darf kein Teiler deiner Zahl im Exponenten sein! Sprich, es kommen nur ungerade Zahlen in Frage. Ein Beispiel:
f(x) = x³ +4x
Nun prüfen wir diese Funktion mal auf Punktsymmetrie:
x³ +4x = -((-x)³ +4(-x))
Nun den Term rechts auflösen und zusammenfassen:
x³ +4x = -(-x³ -4x)
x³ +4x = x³ +4x
=> Hier liegt eine Punktsymmetrie vor.
Bei einer Punktsymmetrie darf also (außer in Spezialfällen) kein Absolutglied vorhanden sein.
Übrigens:
- Bei einer Funktion, die achsensymmetrisch ist, verläuft die Symmetrieachse meist durch die Extremstelle(n) der Funktion (Spezialfälle kommen unten).
- Bei einer Funktion, die punktsymmetrisch ist, ist das Drehzentrum Z meist der Wendepunkt der Funktion.
- Spezialfall 1: Der Graph der Sinus- und der Kosinusfunktion. Beide Funktionen sind in unendlich vielen Punkten punkt- und achsensymmetrisch. Die Symmetrischsen verlaufen durch alle Extrema und die Drehzentren sind in allen Wendepunkten der Funktionen vorhanden.
- Spezialfall 2: Die Graphen von gebrochen rationalen Funktionen. Hier müssen die o.g. Bedingungen erfüllt sein, aber auch gebrochen rationale Funktionen können punkt, oder achsensymmetrisch sein. Bei achsensymmetrischen, gebrochen rationalen Funktionen ist dann die Symmetrieachse die senkrechte Asymptote.
Deine Funktion war ja allgemein die einer Funktion vierten Grades:
f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e
Nun müsste Folgendes gelten:
=> Achsensymmetrie: b = d = 0, woraus sich ergibt:
f(x) = ax^4 +0 +cx² +0 +e = ax^4 +cx² +e
=> Punktsymmetrie: a = c = e = 0, woraus sich ergibt
f(x) = 0 +bx³ +0 +dx +0 = bx³ +dx
So, das ist so das, was mir einfällt - ich hoffe, ich konnte helfen :)
LG ShD