Frage von Samy7, 71

Funktion 3.Grades Faktoren streichen?

Die Funktion lautet: f(×)=ax^3+bx^2+cx+b Bedingungen: Punktsymetrie: f(-x)=-f(x) (was bedeutet -f? Funktion im negativen bereich ist die selbe wie x im positiven? Versteh ich nicht ganz) Warum darf oder eher gesagt muss ich bx^2 und d streichen, aus welchem Grund darf ich das und warum muss ich es tun um mit 2 punkten die Funktionsgleichung rauszfinden? Für was steht d?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von karajan9, 36

Erst ein Mal vermute ich, dass deine Funktion eigentlich

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (anstatt +b)

heißen sollte. Dieses d ist dann der y-Achsenabschnitt. Eigentlich ist d der Koeffizient von x^0, also f(x) = ax^3 + bx^2 + cx^1 + dx^0, aber weil x^0 = 1, lässt man das in der Regel weg.

Dann vermute ich auch, dass es dir um Punktsymmetrie um den Nullpunkt (0, 0) geht, dann passen die Aussagen nämlich. Prizipiell kann es Punktsymmetrie um jeden Punkt geben.

-f(x) bedeutet einfach, dass du vor die ganze Funktion ein - setzt.

Jetzt testen wir mal gerade die Bedingung f(-x) = - f(x) an f(x) = cx und f(x) = bx²:

f(x) = cx
f(-x) = c(-x) = -cx
-f(x) = -cx
Also gilt f(-x) = - f(x)

f(x) = bx²
f(-x) = b(-x)² = bx²
-f(x) = -bx²
Hier gilt also f(-x) =/= - f(x) (ungleich)

Wenn dus ausprobiert wirst du feststellen, dass die Bedingung immer dann gilt, wenn das x einen ungeraden Exponenten hat, und immer nicht gilt, wenn x einen gerade Exponenten hat. Genau umgekehrt verhält es sich übrigens bei Spiegelsymmetrie an der y-Achse.

Da bx² und dx^0 gerade Exponenten haben, musst du die streichen, wenn deine Funktion Punktsymmetrisch sein soll. ax^3 und cx haben jedoch ungerade Exponenten und "dürfen bleiben".

Wenn du dann deine punktsymmetrische Funktion hast, kannst du durch das Einsetzen von zwei Punkten zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen und diese so bestimmen.

Ich hoffe, ich konnte etwas weiterhelfen :-)

Kommentar von Samy7 ,

Ja ich meinte d

dx^0 null gibt doch aber eigebtlich d×1 und dadurch d^1. Dann hat d ja einen ungeraden exponenten? Warum streich ich ihn dann trotzdem? 

Kommentar von karajan9 ,

d ist eine Konstante, ob das jetzt d^1 oder d^15 ist, macht keinen Unterschied. Es geht nur um die Exponenten von x, weil du an denen etwas änderst wenn du für das x ein -x einsetzt. Die Konstanten a, b, c und d rührst du ja gar nicht an.

Kommentar von Samy7 ,

Darf ich das c•(-x) überhaupt -cx aufschreiben, das minus gildet ja für das x und nicht für c. Genauso muss ich um -x dann eine klammer setzten? Das ist immer so oder wenn ich das x in minus setzte?

Kommentar von Volens ,

Bei mal brauchst du in der Zusammenfassung gar keine Klammer zu setzen:
-cx = (-c) * x = c * (-x) = x * (-c) = (-x) * c

Du kannst aber trotzdem (-cx) schreiben, wenn es aus Gründen der Deutlichkeit mal notwendig sein sollte. Aber hier bei GF muss man sowieso ein paar Klammern mehr machen (Begrenzungen von Zähler, Nenner und Wurzel), sodass man um jede Klammer froh ist, die man nicht machen muss.
Hauptsache: die wichtigen sind da!

Kommentar von Samy7 ,

Und warum wird dann die konstante d trotzdem gestrichen, wenn sie ja nichts ändert? 

Kommentar von karajan9 ,

Na, probieren wirs doch einfach mal aus:

f(x) = d
f(-x) = d  (es gibt schließlich kein x, was wir einsetzen könnten)
-f(x) = -d
Also gilt f(-x) = - f(x)

Daher musst du auch das d streichen. Allgemein ist es ja so, dass du nicht einfach was anderes reinstecken kannst (-x anstatt x) und erwarten, dass etwas ähnliches rauskommt (das Negative der Funktion). Eine Funktion, bei der das gilt, ist schon besonders, sie ist eben Punktsymmetrisch.

Funktionieren tut das, weil x mit einem ungeraden Exponenten das Vorzeichen intakt lassen. (-x) = -x, (-x)³ = -x³. x mit geradem Exponenten "vernichten" das Vorzeichen hingegen: (-x)² = x², (-x)^4 = x^4, und eben auch (-x)^0 = 1 = x^0.

Kommentar von Samy7 ,

Achsoo, wenn jetzt d ein negativer Wert wäre? Aber weil d kein x ist ist es egal oder? Sobald also ein anderer buchstabe alleine steht und es sich dabei nicht um ein x handelt, ist die f(-x) funktion nicht erfüllt; weil eben nicht die ganze Funktion -f ist (wegen -f(x)). Bei parabeln mit y achsensymetrie ist aber trotzdem ein C dabei?

Kommentar von karajan9 ,

Also, erst mal habe ich mich verschrieben, bei dem d muss es nämlich heißen:

f(-x) =/= -f(x) (ungleich)

Wenn du ein negativer Wert wäre, würde bei -f(x) aus dem negativen wieder ein positiver.

Es kommt nur auf die x an, weil du nur an denen etwas veränderst. Ob du jetzt d, -d, c, oder c^2 nimmst ist egal, das ändert alles nichts.

Exakt, das stimmt. Wenn noch eine andere Variable "ohne x" steht, gilt für die das gleiche wie für das d.

Ich weiß nicht, was für ein C du meinst? Bei y-Achsensymmetrie gilt genau das Gegenteil zu hier. Da muss gelten

f(-x) = f(x).

Wenn du's ausprobierst wirst du feststellen, dass das immer für x mit geraden Exponenten gilt und nicht gilt für x mit ungeradem Exponenten. x^2 ist achsensymmetrisch, x nicht, beispielsweise.

Kommentar von Samy7 ,

Also ich habe verstanden, dass man d und so einfach ignprieren soll wenn man symetrien hat, aber ich versteh nicht warum man sie einfach rausstreicht oder wenn sie da sind sie trotzdem ignoriert, wenn man sich doch streicht beim gleichungen bestimmen?

Kommentar von karajan9 ,

Du sollst d nicht allgemein bei Symmetrien ignorieren. Bei der Achsensymmetrie darf d genauso stehen bleiben wie x^2, nur bei der Punktsymmetrie muss es genau wie x^2 raus gestrichen werden.

Kommentar von Samy7 ,

Wenn aus -d wieder wegen -f(×) wieder x wird, was ja nichr sein darf, warum sollte dann aus ax^3 wenn ich es ausgerechnrt habe -ax nicht auch wieder positiv werden wegen -f(x)?

Ich meinte die Parabelgleichung f(x)=ax^2 +c. C ist ja auch die d nur eine konstante, aber dort herrscht trotzdem symetrie zur y achse? Warum herrscht hier dann ein unterschied?

Kommentar von karajan9 ,

Ich nehme an, dass du meinst, das daraus wieder d wird, nicht x?

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstehe, aber ich probiere es mal.

Es ist wichtig, das du beide Seiten der Gleichung -f(x) = f(-x) betrachtest.

Durch die linke Seite wird immer die ganze Funktion negativ.

Ist deine Funktion f(x) = x, wird sie auch negativ: f(-x) = (-x). Genauso bei x^3.

Ist deine Funktion f(x) = x^2, wird sie nicht negativ: f(-x) = (-x)^2 = x^2. Genau so bei f(x) = d: f(-x) = d.

Und gerade wegen diesem Unterschied sind x mit ungeraden Exponenten okay und x mit geraden Exponenten nicht.

Wenn bei der Achsensymmetrie deine Bedingung jetzt lautet f(-x) = f(x) gilt genau das Gegenteil. Probiers an besten mal aus.

Kommentar von Samy7 ,

D muss weg weil es der schnittpunkt mit der y achse ist und dadurch ja eine punktsymetrie nicht möglich ist?

Warum ist c bei parabeln dann in ordnung? Weil ja nur die y achse gespiegelt wird?

Kommentar von karajan9 ,

Genau. Mal es dir einfach mal auf, oder rechne es mit der Bedingung durch, dann siehst du's schon. 

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Schule, 22

Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse:        f(x) = f(-x)          x², x⁴, x⁶, ...
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs:      f(x) = -f(-x)         x, x³, x⁵, ...
Achsensymmetrie bezüglich der x-Achse:        f(x) = -f(x)

Die letztgenannte Symmetrie ist z.B. bei f(x) = √x  gegeben, wenn man beide Zweige als Teile einer Funktion auffasst. Streng genommen sind sie's ja nicht.

f(x) = f(-x) heißt, dass in der Zeichnung zu x und -x ein gleicher y-Wert gehört.
Das zusätzliche - bei der Punktsymmetrie bedeutet: für x ist die Ordinate y, für -x ist sie -y, also im schräg gegenüberliegenden Quadranten.

Antwort
von meterano7, 35

Hey, war in Mathe nie ganz auf der Höhe, bissl kann ich vllt helfen. Um punktsymmetrie zu überprüfen nimmst du quasi die ganze f(x), und setzt sie mit der ursprünglichen funktion gleich, die allerdings in klammern minus: beispiel: f(x)= ax + b 

f(x) = -f(x)

ax² + b = -(ax + b) 

ax² + b = -ax - b

wenn die bedingung stimmt, also z.b. ne aussage wie x² = x² rauskommt stimmt die symmetrie.

d ist im allgemeinen ( kann auch jeder andere buchstabe außer e (eulersche zahl) und x (variable) sein) ne konstante, die ist also kein koeffizient von x. kennst du auch von z.b. f(x) = 3x + 5. da war die 3 ja die steigung und 5 der durchgangspunkt an der y-achse.

Antwort
von aloiskredo, 30

-f(x) = f(-x) ist das Kriterium für Punktsymmetrie. y an der Stelle -x ist gleich -y an der Stelle x

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