Frage von merderzo, 36

der Graph einer ganzrationalen Funktion vom grad 3 hat Intervalle mit einer Links/ Rechtskurve?

der graph einer ganzrationalen funktion vom grad 3 hat intervalle mit einer Linkskurve und solche mit einer Rechtskurve.

Diese Aussage soll ich beurteilen..

Mein Lösungsansatz:

f(x)= ax^3+bx^2+cx+d

-> der höchste Exponent ist 3 daraus folgt -> der höchste Exponent von f´(x) ist 2, der von f´´(x) ist 1

Weil der höchste Exponent von f´´(x) 1 ist, ist auch eine Nullstelle vorhanden. Eine Nullstelle bei der 2. Ableitung kennzeichnet ja einen Wendepunkt bei der Funktion f... Aber das Problem ist, das dies nur gilt wenn die Nullstelle einen VZW hat..

aber wie soll ich das herausfinden ob es einen VZW hat?

Ich bedanke mich im Voraus

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 21

Hallo,

warum so kompliziert?

f(x)= -x³ erfüllt die Bedingungen doch schon.

Vor dem Wendepunkt bei (0|0) geht's links herum, danach rechts.

Die erste Ableitung muß bei x=0 ein Maximum haben, die zweite demnach eine Nullstelle und die dritte muß negativ sein.

f'(x)=-3x²

f''(x)=-6x

f'''(x)=-6

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von merderzo ,

aber es kann ja immer Außnahmen geben... deshalb habe ich es allgemein gemacht und es nicht anhand eines Beispiels belegt

Kommentar von Willy1729 ,

Ist ja nicht verkehrt. Im konkreten Fall nur nicht nötig.

Kommentar von merderzo ,

Okay alles klar dankee :) es stand halt begründen in der Aufgabenstellung..deshalb dachte ich das wäre nötig

Antwort
von PeterKremsner, 25

Eine Nullstelle erster Ordnung hat immer einen Vorzeichenwechsel sofern die Zugrunde liegende Funktion ein Polynom ist.

Genauer hat jede Nullstelle eines Polynoms gerader Ordnung keinen Vorzeichenwechsel, jede Nullstelle ungerade Ordnung einen Vorzeichenwechsel in einer Epsilonumgebung nahe der Nullstelle.

Kommentar von merderzo ,

Was heißt es, wenn eine Nullstelle aus der ersten Ordnung ist?

Kommentar von merderzo ,

und ungerade Ordnung heißt einfach, dass der Exponent ungerade ist? Also 1,3,5 usw.?

Kommentar von PeterKremsner ,

Nein, die Ordnung einer Nullstelle ist die Anzahl der Nullstellen welche auf dem selben x-Wert liegen.

Die Gleichung (x-3)² kannst du umschreiben als:

(x-3)*(x-3) nach dem Satz vom Nullprodukt bekommst du also zwei Gleichungen:

x-3 = 0

und 

x-3 = 0

daraus kommen die beiden Lösungen x1,2 = 3 somit hast du eine Doppelte Nullstelle bei 3 und die Ordnung dieser Nullstelle ist 2.

Weil ein Polynom erster Ordnung nur eine Nullstelle haben kann, ist die Ordnung dieser Nullstelle auch nur 1 und somit hast du hier den Vorzeichenwechsel.

Das siehst du zB auch am Satz von Vieta:

Danach kannst du ein Polynom immer schreiben als:

p(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3).... wobei x1,2,3,... die jeweilige Nullstelle ist.

Wenn jetzt also x1 und x2 die selbe Nullstelle ist steht da:

p(x) = (x-x1)²*(x-x3)

In einer hinreichend kleinen Umgebung wird das Polynom nur durch den entsprechenden Term für die Nullstelle beschrieben.

Wenn du dich also in einer kleinen Umgebung um x1 aufhältst wird das Polynom nur durch (x-x1)² beschrieben und dieser Term kann nur >= 0 sein, somit gibt es hier keinen Vorzeichenwechsel.

Bei einer Umgebung um x3 ist der Term (x-x3) dieser kann einen Vorzeichenwechsel haben und wird ihn auch haben.

Die entsprechende Funktion kannst du dir hier ansehen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-3)%C2%B2*x+%3D+0

Wie du siehst ist die Nullstelle bei x = 0 eine einfache und die Nullstelle bei x = 3 eine doppelte. Somit gibt es bei x = 0 einen Vorzeichenwechsel und bei x = 3 keinen.

Du kannst alternativ auch über die dritte Ableitung argumentieren, wenn deine zweite Ableitung nur noch ein Polynom erster Ordnung ist, dann ist deine dritte Ableitung eine Konstante.

Wenn die dritte Ableitung ungleich 0 ist dann muss deine zweite Ableitung entweder streng Monotonsteigend oder streng Monoton fallend sein, das kann dann nur erfüllt sein wenn es bei der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel gibt.

Die Dritte Ableitung ist genau dann ungleich Null wenn der Koeffizient a ungleich 0 ist.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 9

Bedingung für einen Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null

Der "Wendepunkt" trennt "konvexe" und "konkave" Bögen einer Kurve.

"konvex" (Rechtskrümmung) K<0  K= f´´´(x)/((1+f´(x)^2)^(3/2))

"konkav" (Linkskrümmung) K>0

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentialgeometrie"

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