Grad einer Funktion anhand des Graphen ablesen?
Wenn ich jetzt einen beliebigen Graph einer Funktion gegeben habe, kann ich dann den Grad der Funktion angeben wenn der Graph die x-Achse an den Nullstellen auch schneidet ? Ich weis zwar über die Nullstellen doch nur das sie von gerader bzw. ungerader Ordnung sind, wegen den Vorzeichenwechsel. Kann ich jetzt aber die Vielfachheit von Ihnen ablesen ? Und die zweite Frage ist x^5=0 eine fünfache Nullstellen weil der Exponent Grad 5 ist oder nur eine einfache Nullstellen und kann man bei jeder beliebigen Funktion schon Aussagen über die Vielfachheit machen ohne das ich Ableitungen mache.
2 Antworten
Es kommt auf die Funktion an, wie schwierig es ist.
Wenn du 5 Nullstellen siehst und keine ist ein Extremwert, dann handelt es sich um eine Gleichung 5. Grades. (Extremwerte erkennt man an den waagrechten Tangenten.)
Handelt es sich um x⁵ selber, siehst du natürlich nur eine Nullstelle (obwohl es 5 sind, die aufeinanderfallen). Aber x⁵ muss durch den Ursprung gehen und bei x = 1 auch y = 1 haben, dann aber bei x = 2 den Wert y = 32. Das kann man auf der Zeichnung sehen.
Mit solchen Überlegungen kann man sich den Grad zusammenreimen.
Auf den ersten Blick kannst du es nur bei voll ausgebildeten Funktionen sagen, bei denen alle Koeffizienten besetzt sind. Denn dann gibt es auch 5 Nullstellen,
Und richtig ist, dass eine Kurve mit ungeradem Grad sofort zu erkennen ist.
Nun ist aber die Prüfung von x = 1 und x = 2 nicht schwer.
Daran kannst du nämlich viel erkennen. Von der Kurve, die durch den Ursprung geht, haben wir schon gesprochen. An ihr erkennt man auch schnell, welchen Koeffizienten die höchste Potenz hat. Denn der y-Wert bei x = 2 ist um so viel höher als bei x = 1, wie die Vorzahl des hochsten Exponenten angibt,
Bei x⁵ ist es der Faktor 32 (siehe oben). Bei 2x⁵ sind bei y die doppelten Werte usw.
Ist die Parabel verschoben, ist es schwieriger, aber noch machbar. Doch in Mathebüchern habe ich so etwas auch selten für x⁵ gefunden, sondern solche Knobeleien macht man meist nur mit ax² + bx + c oder ax³ + bx² + cx + d.
bei "Ganzrationalen Funktionen" ist der Grad n= Anzahl der Buckel +1
Beispiel: Kubische Funktion y=f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao
1) hat immer einen "Wendepunkt"
2) hat maximal 2 Buckel (Maximum und Minimum)
Wenn y=f(x)=a3*x^3+C keinen Buckel und nur 1 Nullstelle
Ah ok und kann ich mithilfe des Graphen sagen, dass es eine Funktion 5 Grades ist. Auf den ersten Blick kann ich doch nur sagen das der Exponent ungerade ist oder.