Wo sind sin β und cos β im Einheitskreis?
In dem Einheitskreis ist die Gegenkathete sin α und die Ankathete cos α. Aber wieso haben wir irgendwas von sin β und cos β aufgeschrieben? Wo sind die bitteschön? Wenn es tan α gibt, gibt es dann auch tan β und wenn ja, wo ist der? :D
6 Antworten
Zwar ist a/c für Sinus ein Seitenverhältnis, aber im Einheitskereis ist c = 1 (die Hypotenuse ist ja der Radius), deshalb kann man für den Darstellungszeck schon mal △y als sin bezeichnen als auch △x als cos.
Ganz offenbar wird dann auch, dass der Tangens △y/△x ist, also
tan α = sin α / cos α.
Ist α der Winkel unten am Ursprung, dann ist ß der an der Peripherie des Einheitskreises, sodass auch tan ß sichtbar wird: △x/△y
Das ist der Kehrwert von tan α.
Die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus sind anders. Mit Hilfe des Pythagoras sieht man direkt: (△x)² + (△y)² = 1 (Hypotenuse = 1 !)
Also: (sin α) + (cos α)² = 1
Das gilt analog auch für ß.
So sieht man allerlei am Einheitskreis.
Korrektur (Quadrat vergessen):
(sin α)² + (cos α)² = 1
gewöhnlich so geschrieben: sin² α + cos² α = 1
Das liegt daran, dass du auf bestimmte Angebote, es dir nahe zu bringen, nicht eingehst. Denn du wirst mit dem Thema ein gewaltiges Problem haben, wenn du diese einfachen Zusammenhänge nicht begreifen kannst (oder willst).
Täusch dich nicht!! Das ist nicht (nur) für die nächste Arbeit, sondern Grundlage für alles in der Trigonometrie, was noch folgen wird! Und das ist eine Menge und bei Weitem nicht so einfach wie das Lernen von einigen Winkelfunktionen - wie bisher.
Ihr verlasst das Thema nach der Arbeit nicht, und wenn, dann greift ihr es alsbald in der Schule wieder auf.
Ich weiß jetzt nicht genau, was ihr wann wo aufgeschrieben habt, da in deiner Frage nichts näheres dazu steht. Aber allgemein gilt:
Am Einheitskreis kann man Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels ablesen. Ob man diesen Winkel nun Alpha, Beta oder Kartoffel nennt, ist egal - das Ablesen funktioniert auf dieselbe Weise.
Vielleicht habt ihr dem Winkel einfach einmal den Namen Beta gegeben, wo ihr ihn sonst häufig Alpha nennt? Dann funktioniert das Ablesen genauso, wie wenn er den Namen Alpha tragen würde.
Oder redest du wirklich nicht vom gleichen Winkel mit einem anderen Namen, sondern von einem ganz anderen Winkel? Dann müsstest du mal genauer sagen, wo der Winkel eingezeichnet ist oder was ihr aufgeschrieben habt.
Ich hoffe, das hilft dir weiter :)
Wir haben aufgeschrieben: sin alpha = Strecke PQ (so haben wir die Punkte des Dreiecks im Einheitskreis bezeichnet) = cos BETHA = cos (90 Grad - alpha)
Dann solltest du dir dazu am besten den Link näher anschauen, den Rhenane gerade hier eingestellt hat. Da wird das ganz gut erklärt, soweit ich das jetzt gesehen habe :)
Ich denke, Ihr habt mit Winkel Beta den Winkel im zweiten Quadranten (oben links) betrachtet, wobei Beta=180-Alpha ist. Das Besondere daran ist, dass dann gilt:
sin(Beta)=sin(Alpha), cos(Beta)=-cos(Alpha) und daher auch
tan(Beta)=-tan(Alpha) [tan(x)=sin(x)/cos(x)]
Hier siehst Du es noch einmal veranschaulicht:
http://www.mathe-online.at/lernpfade/einheitskreis/?kapitel=3
Wie ich zuletzt geschrieben habe, gilt tan(Alpha)=sin(Alpha)/cos(Alpha). Der tan wird neben dem Einheitskreis dargestellt; je näher nun der Winkel Alpha Richtung 90° geht, desto kleiner wird der cos (Seite auf der x-Achse), d.h. wiederum der Bruch sin/cos wird immer größer.
sin(alpha)=cos(beta)
cos(alpha)=sin(beta)
tan(alpha)=1/tan(beta)
beweisen darfst du das selbst! :-)
sin(α) und cos(α) sind keine Seiten, sondern Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck.
LG
Ach, ja sinus alpha ist G/H, oder? Aber wo sind denn jetzt sin BETHA und cos BETHA?
sin(α) und cos(α) sind keine Seiten, sondern Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck.
Der Trick beim Einehitskreis ist eben, dass die eine Seite (durch die man teilt) 1 ist und somit der sinus bzw. kosinus direkt an der Streckenlänge abgelesen werden kann.
Das ist formal richtig, dass im Einheitskreis der Radius r als Längeneinheit verwendet wird. Letztendlich läuft es bei den Winkelfunktionen aber doch auf ein Seitenverhältnis hinaus. Die Argumente der Winkelfunktionen haben, im Gegensatz zu den parallel zu den Achsen des Koordinatensystems projektierten Strecken des Radius, keine Einheit. Daher ist es m.E. nicht korrekt, eine Winkelfunktion als Strecke auszuweisen, weil das zu Missverständnissen führen kann.
LG
Ich hab keinen Plan wovon du redest. Du verwirrst mich eher noch mehr.