Frage von massie13, 62

Einheitskreis: Wo ist sin betha und cos betha?

In dem Einheitskreis ist die Gegenkathete sin ALPHA und die Ankathete cos ALPHA. Aber wieso haben wir irgendwas von sin BETHA und cos BETHA aufgeschrieben? Wo sind die bitteschön? Wenn es tan ALPHA gibt, gibt es dann auch tan BETHA? Und wenn ja, wo ist der? :D

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 30

Ich denke, Ihr habt mit Winkel Beta den Winkel im zweiten Quadranten (oben links) betrachtet, wobei Beta=180-Alpha ist. Das Besondere daran ist, dass dann gilt:
sin(Beta)=sin(Alpha), cos(Beta)=-cos(Alpha) und daher auch
tan(Beta)=-tan(Alpha) [tan(x)=sin(x)/cos(x)]

Hier siehst Du es noch einmal veranschaulicht:

http://www.mathe-online.at/lernpfade/einheitskreis/?kapitel=3

Kommentar von massie13 ,

Ich glaub das hat mir ein wenig weitergeholfen

Kommentar von Rhenane ,

Wie ich zuletzt geschrieben habe, gilt tan(Alpha)=sin(Alpha)/cos(Alpha). Der tan wird neben dem Einheitskreis dargestellt; je näher nun der Winkel Alpha Richtung 90° geht, desto kleiner wird der cos (Seite auf der x-Achse), d.h. wiederum der Bruch sin/cos wird immer größer.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 19

Zwar ist a/c für Sinus ein Seitenverhältnis, aber im Einheitskereis ist c = 1 (die Hypotenuse ist ja der Radius), deshalb kann man für den Darstellungszeck schon mal △y als sin bezeichnen als auch △x als cos.

Ganz offenbar wird dann auch, dass der Tangens △y/△x ist, also
tan α = sin α / cos α.

Ist α der Winkel unten am Ursprung, dann ist ß der an der Peripherie des Einheitskreises, sodass auch tan ß sichtbar wird: △x/△y
Das ist der Kehrwert von tan α.

Die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus sind anders. Mit Hilfe des Pythagoras sieht man direkt: (△x)² + (△y)² = 1   (Hypotenuse = 1 !)
                              Also: (sin α) + (cos α)² = 1

Das gilt analog auch für ß.
So sieht man allerlei am Einheitskreis.

Kommentar von Volens ,

Korrektur (Quadrat vergessen):

                          
(sin α)² + (cos α)² = 1         
gewöhnlich so geschrieben: sin² α + cos² α  =  1

Kommentar von massie13 ,

Ich hab keinen Plan wovon du redest. Du verwirrst mich eher noch mehr.

Kommentar von Volens ,

Das liegt daran, dass du auf bestimmte Angebote, es dir nahe zu bringen, nicht eingehst. Denn du wirst mit dem Thema ein gewaltiges Problem haben, wenn du diese einfachen Zusammenhänge nicht begreifen kannst (oder willst).

Täusch dich nicht!! Das ist nicht (nur) für die nächste Arbeit, sondern Grundlage für alles in der Trigonometrie, was noch folgen wird! Und das ist eine Menge und bei Weitem nicht so einfach wie das Lernen von einigen Winkelfunktionen - wie bisher.

Ihr verlasst das Thema nach der Arbeit nicht, und wenn, dann greift ihr es alsbald in der Schule wieder auf.

Antwort
von Aleksakisu, 24

Ich weiß jetzt nicht genau, was ihr wann wo aufgeschrieben habt, da in deiner Frage nichts näheres dazu steht. Aber allgemein gilt:

Am Einheitskreis kann man Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels ablesen. Ob man diesen Winkel nun Alpha, Beta oder Kartoffel nennt, ist egal - das Ablesen funktioniert auf dieselbe Weise.

Vielleicht habt ihr dem Winkel einfach einmal den Namen Beta gegeben, wo ihr ihn sonst häufig Alpha nennt? Dann funktioniert das Ablesen genauso, wie wenn er den Namen Alpha tragen würde.

Oder redest du wirklich nicht vom gleichen Winkel mit einem anderen Namen, sondern von einem ganz anderen Winkel? Dann müsstest du mal genauer sagen, wo der Winkel eingezeichnet ist oder was ihr aufgeschrieben habt.

Ich hoffe, das hilft dir weiter :)

Kommentar von massie13 ,

Wir haben aufgeschrieben:  sin alpha = Strecke PQ (so haben wir die Punkte des Dreiecks im Einheitskreis bezeichnet) = cos BETHA = cos (90 Grad - alpha)

Kommentar von Aleksakisu ,

Dann solltest du dir dazu am besten den Link näher anschauen, den Rhenane gerade hier eingestellt hat. Da wird das ganz gut erklärt, soweit ich das jetzt gesehen habe :)

Antwort
von Halswirbelstrom, 30

sin(α)  und  cos(α)  sind keine Seiten, sondern Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck.

LG

Kommentar von massie13 ,

Ach, ja sinus alpha ist G/H, oder? Aber wo sind denn jetzt sin BETHA und cos BETHA?

Kommentar von Halswirbelstrom ,

dito:

sin(α) = a / c = cos(β)

cos(α) = b / c = sin(β)

LG

Kommentar von Wechselfreund ,

sin(α)  und  cos(α)  sind keine Seiten, sondern Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck.

 Der Trick beim Einehitskreis ist eben, dass die eine Seite (durch die man teilt) 1 ist und somit der sinus bzw. kosinus direkt an der Streckenlänge abgelesen werden kann.

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Das ist formal richtig, dass im Einheitskreis der Radius r als Längeneinheit verwendet wird. Letztendlich läuft es bei den Winkelfunktionen aber doch auf ein Seitenverhältnis hinaus. Die Argumente der Winkelfunktionen haben, im Gegensatz zu den parallel zu den Achsen des Koordinatensystems projektierten Strecken des Radius, keine Einheit. Daher ist es m.E. nicht korrekt, eine Winkelfunktion als Strecke auszuweisen, weil das zu Missverständnissen führen kann.

LG

Antwort
von Wechselfreund, 22
Kommentar von massie13 ,

Und was hilft mir das jetzt weiter?

Kommentar von Wechselfreund ,

Da findest du alles, wonach du gefragt hast und kannst in der Animation noch den Winkel verändern!

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