Wie aus Tangens den Cosinus und Sinus herausfinden?
Hallo,
ich schreibe bald eine Mathe Schulaufgabe und ich muss aus einen Wert von tangens, cosinus und sinus , die anderen 2 harausfinden errechnen.
Ich weiß ,dass es Formeln gibt:
sin² + cos² = 1 und
tan = sin/cos
Aber jetzt muss ich zum Beispiel von tan = 0,5 , den sin und cos errechnen. Aber wie geht das?
7 Antworten
Am Einfachsten, obwohl es garantiert einfacherer wege über Phasendifferenz von Pi und so gibt, ist die Variante:
Stell die zweit gleichung nach sin um, setzt es oben ein und rechne den winkel aus.
Gleiches analog für cos.
Obwohl es wahrscheinlich noch einfacher geht da sin(x+Pi/2)=cos
und somit tan=sin/cos=sin(x)/sin(x+Pi/2).
Wie man aus dem bruch mit den 2 sinusen einen Ausdruck macht, steht sicher in irgendeiner Formel drin.
Frag notfalls wikipedia.
davon abgeleitet ist sin(x-Pi/2)= cos.
Ebenfalls wieder einsetzen, gibt ne gleichung die nur von cosinusen abhängt.
Auch hier wieder formel verwenden.
Allgemein zur Lösbarkeit des Ganzen: Du hast 2 Gleichungen, 3 Unbekannte.
Anfangs bekommst du einen der Werte vorgegeben, hast also nur noch 2 Unbekannte und 2 Gleichungen.
Lässt sich also problemlos lösen.
Kämen nicht sin, cos tan und ^2 vor, würde man das ein "lineares Gleichungsssystem 2. Ordnung nennen". Wegen genannten Ausdrücken ist es allerdings nicht linear. :-)
Auch Mathe wird in Wikipedia lang und breit erklärt, z. B. hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Arctan
oder du malst dir ein rechtwinkliges dreieck mit
gegenkathete=tan(alpha), ankathete=1.
und hypothenuse berechnest du zu
sqr(1+tan^2)
(wobei übrigens gilt:
=sqr( cos^2/cos^2+sin^2/cos^2)
=sqr(1/cos^2)
könntest also cosinus auch direkt berechnen)
und da du nun die 3 seiten kennst, kannst du auch sinus und cosinus berechnen :-)
sorry dass das keine richtige antwort ist, aber meiner meinung nach gibt es unendlich viele möglichkeiten um sinus und cosinus so zu wählen, damit der tangens 0,5 wird. die beiden gleichungen die du aufgeschrieben hast, sind für mich auch die, die ich so kenne und sonst wüsste ich nichts. aber wenn man sich das mal an nem rechtwinkligen dreieck vorstellt bedeutet der tangens von nem winkel ja nur, dass die gegenkathete die hälfte der länge von der ankathete an. über arctan(0,5)=26,6° kannst du dir in nem rechtwinkligen dreieck auch den dritten winkel ausrechnen, indem du 90°-26,6° = 63,4° rechnest. dann kennst du alle drei winkel, aber keine einzige länge. und in der 7. klasse oder so hat man ja mal gelernt, dass man ein dreieck immer genau aus drei größen (z.b. ssw, oder wsw oder sss) bestimmen kannst, nur nicht wenn du drei winkel gegeben hast. und genau das wäre hier der fall....ich bin mir nicht ganz sicher aber so würde ich das beantworten dass cos = alles sein kann, solange dann sinus = 0,5 * cos ist.
danke schon mal :)
ich bin jetzt nicht wirklich ein Mathe Genie und weiß auch nicht was "arctan" ist. Ich bin gerade in der neuenten Klasse.
Bei mir steht im Mathebuch genau drin:"Im Folgenden ist von den drei Werten sin a, cos a und tan a einer gegeben. Berechne die beiden anderen ohne Taschenrechner."
Und davon ist eine Aufgabe: tan a = 1/2
Wenn tan(x) = 0.5, dann ist x = arctan(0.5).
Dann hast du x und kannst einach sin(x) oder cos(x) ausrechnen.