Sin, cos, tan am Einheitskreis?
Ich verstehe das Thema nicht ganz bzw. wie man auf die Lösung kommt. Man kann auch sagen dass ich das Thema allgemein nicht verstehe, könnte jemand es idiotensicher erklären?
Es gibt so eine Vorzeichentabelle, für Sin gilt 1. + 2.+ 3.- 4.-
Nur zum Verständnis worum es geht.
1 Antwort
Der Einheitskreis heißt so, weil sein Radius 1 ist. Zeichnest Du nun einen Winkel in diesen Kreis ein, und bildest damit ein rechtwinkliges Dreieck, dann ist die Hypotenuse der Radius (=1), die Länge der senkrechten Kathete ist der sin und die waagerechte Kathete (liegt auf der x-Achse) ist der cos. Liegt das Dreieck über der x-Achse, also im ersten oder zweiten Quadranten, dann ist die senkrechte Kathete (also der sin) positiv, liegt die senkrechte Kathete im dritten oder vierten Quadranten, dann ist der sin negativ - das ist mit der Vorzeichentabelle gemeint.
Hast Du nun wie bei Skizze a) einen Winkel im 1. Quadranten (hier 48°) vorliegen, dann hast Du dieselbe Höhe der senkrechten Kathete im zweiten Quadranten, wenn Du das Dreieck an der y-Achse spiegelst. Im ersten Quadranten gehst Du quasi mit der Hypotenuse (dem Radius) von 0° ausgehend 48° nach oben. Im zweiten Quadranten gehst Du entsprechend von der Geraden (=180°) entgegengesetzt um 48° nach oben, und kommst so auf 180°-48°=132°.
Spiegelst Du jetzt die Winkel an der x-Achse, dann landest Du in den Quadranten 3 und 4, also im "Minus", bezogen auf den sin. Im dritten Quadranten kommst Du an den passenden Winkel, indem Du von 180° die 48° hinzuaddierst also 180°+48°=228°. Im 4. Quadranten gehst Du von 0°=360° um 48° "rückwärts" und landest bei 360°-48°=318°.
Es sind bei 2a) die Winkel unter der x-Achse gesucht, weil sin alpha=-...
Dazu wird hier zuerst der Winkel im ersten Quadranten ermittelt, quasi der ins Positive gespiegelte, und dieser wird zur Unterscheidung mit alpha' bezeichnet. Vielleicht kannst Du Dich noch ans Spiegeln oder Strecken von Punkten erinnern, da wurde auch z. B. der Punkt A zu A'.
Dieser Winkel ist 37,5°. Nun ist es so, dass die Winkel gegen den Uhrzeigersinn hoch gezählt werden, d. h. rechts bei 0° beginnend geht es "oben rum" mit steigenden Winkeln weiter. Gehst Du von 0°=360° "unten rum", also im Uhrzeigersinn, dann nehmen die Winkel ab. Deshalb musst Du im 4. Quadranten 360° minus 37,5° rechnen; und um im 3. Quadranten an den richtigen Winkel zu kommen geht es "richtigrum" gegen den Uhrzeigersinn von 180° plus 37,5°.
sin=- bedeutet, die passenden Winkel liegen unter der x-Achse, also irgendwo zwischen 180° und 360°. Würde man nun mit dem Taschenrechner einen der Winkel ausrechnen, käme -37,5° raus, was nicht im Einheitskreis liegt. Mit etwas Routine weiẞ man, dass das im Einheitskreis -37,5°+360°=322,5° entspricht, bzw. der "erste" Winkel über der x-Achse dann +37,5° ist.
D. h. man muss nicht unbedingt erst den Winkel aus sin=+ ausrechnen, bevor man die gesuchten negativen Parts ermittelt. Aber zu Beginn des Themas und zum Verständnis/zur Übung ist das vielleicht sogar sinnvoll so vorzugehen wie hier beschrieben.
Achso, danke. Könntest du mir auch noch erklären warum unten (Beispiel 2a) Alpha zu Alpha' wurde? Es ist ja im 3. und 4. Quadranten, weil negativ. Warum wurde aber 180 + 37,5 anstatt 180 + (-37,5) gerechnet? Muss man mit einem positiven Wert rechnen?