Ein einfaches sinusförmiges Signal wurde 100 Mal pro Sekunde äquidistant abgetastet. Dabei sind folgende Messwerte ermittelt worden:
0
0,2486899
0,4817537
0,6845471
0,8443279
0,9510565
0,9980267
0,9822873
0,9048271
0,7705132
0,5877853
0,3681246
0,1253332
-0,1253332
-0,3681246
-0,5877853
-0,7705132
-0,9048271
-0,9822873
-0,9980267
-0,9510565
-0,8443279
-0,6845471
-0,4817537
-0,2486899
-2,449294e-16
0,2486899
0,4817537
0,6845471
0,8443279
Nennen Sie zusätzlich zur Lösung der letzten Aufgabe zwei weitere Frequenzen eines möglichen Signals, das diese Messwerte verursacht haben könnte. (mit Lösungsweg, bitte)
Ich habe bereits errechnet, dass die minimale Frequenz 4 Hz beträgt.
Das wäre meine Antwort aber ich bin mir extrem unsicher um das so stimmt.
Wir suchen eine Frequenz, sodass der Wert des Signals alle k * 0.01 Sekunden (mit k Element aus N) den selben Wert wie sin(k * 0.01 * 2 * 8 * pi) hat. Also:
sin(k * 0.01 * 2 * 4 * pi) = sin(k * 0.01 * 2 * f * pi)
sin(k * 0.08 * pi) = sin(k * 0.02 * f * pi)
Sinus ist mit 2 * pi periodisch. D.h. die Ausdrücke sind genau dann gleich, wenn der Phasenunterschied ein vielfaches von 2 * pi ist. Also:
k * 0.08 * pi = k * 0.02 * f * pi + 2 * n * pi (n Element aus Z)
0.08 = 0.02 * f + 2 * n (für k != 0)
f = 4 - 100 * n
Man kann dies auch wörtlich erläutern: Wir tasten mit einer Frequenz von 100 Hz ab und haben eine Grundfrequenz von 4 Hz. Da Signale periodisch sind müssen sie also immer nach einer Periode von einem vielfachen der Abtastfrequenz (100 Hz) addiert mit der Start- bzw. Grundfrequenz (4 Hz) den gleichen Wert haben, woraus sich die genannte Formel ergibt.
Zwei mögliche Frequenzen wären also:
f1 = 104 Hz
f2 = 204 Hz
Ist das korrekt? Danke im Voraus
