Hier muss man zunächst unterscheiden: Unterhalt und Unterhaltsvorschuss sind nicht gleich. Unterhalt ist zivilrechtlich und Unterhaltsvorschuss ist öffentlich-rechtlich.
Grundsätzlich ist die Mutter weiterhin barunterhaltspflichtig (Paragraph 1601 ff BGB). Wenn sie leistungsunfähig ist, dann hat sie alles Zumutbare im Rahmen ihrer sogenannten gesteigerten Erwerbsobliegenheit nach Paragraph 1603 Abs. 2 BGB zu unternehmen, um den Unterhalt abzusichern. Dazu gehört auch ausreichende Bewerbungsbemühungen (in der Rechtssprechung werden 20-30 Bewerbungen als Minimum im Monat, auch unterhalb des Ausbildungs- und Studiumsniveaus sowie bundesweit als zumutbar im Regelfall betrachtet). Ansonsten kann auch auf fiktivem Einkommen berechnet werden und ein Titel erwirkt werden. Dieser wird in der Praxis nur kaum bis nichts nützen, da bei ausschließlichem SGB II-Bezug kein pfändbares Einkommen vorliegen wird.
Unterhaltsvorschuss wird als Sozialleistungen gewährt, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind. Dazu gehört, dass der Elternteil, bei dem das Kind lebt, ledig, verwitwet, geschieden oder dauernd getrenntlebend ist (Paragraph 1 Abs. 1 UVG). Verheiratete fallen nicht darunter, daher besteht kein Anspruch.
Soweit das Geld nicht ausreichen sollte, kann ggf. Wohngeld, Kinderzuschlag oder Lsostungen nach dem SGB II aufstockend beantragt werden.