Die heutige Mathematik hat die Mengenlehre als Grundlage. Mit Hilfe von Mengen lassen sich die natürlichen Zahlen konstruieren bzw. definieren (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Von_Neumanns_Modell_der_nat%C3%BCrlichen_Zahlen ).

Dabei wird auch die 0 definiert, womit sie existert.

Du könntest wiefolgt fortfahren:  wobei die Äquivalenz nach Induktionsvorraussetzuung gilt, da du ja n^2 bereits durch 2^n nach oben abschätzen kannst. Nun kannst du (durch Induktion) die letzte Ungleichung zeigen

Die Lösungen sind unter anderem in den entsprechenden Abiturtrainern enthalten. Wenn du jedoch kein Geld ausgeben willst, kannst du entweder deine Leher fragen, dich mit anderen Schülern austauschen oder vielleicht ehemalige Schüler nach Lösungen fragen.

Man kann dies leider nicht machen. Dies ist bekannt als Quadratur des Kreises. DorFuchs hat neulich ein Video hochgeladen, welches erklärt, warum dies nicht geht.

Ich kann dir total den digitalen Karteikartenmanager "Anki" empfehlen. Dort kannst du selber Karteikarten schreiben oder dir schon fertige Decks herunterladen. Je nachdem wie gut du die Antwort kanntest, wirst du in einer entsprechend größeren Zeit erneut nach der Karte gefragst. Du musst dich also nicht selber um das sortieren der Karten kümmern.
Allerdigns bezweifel ich, dass es so etwas wie die wichtigsten mathematischen Formel gibt. Falls du dich aber mit der Mathematik weiter auseinandersetzen willst und dir ein richtiges Mathebuch kaufst (kein Schulbuch), kannst du die neuen Definitionen und mathematischen Sätze mittels Anki lernen.

Zuerst multiplizieren wir Gleichung 1 mit 7 und Gleichung 2 mit 2. Dann erhalten wir:



Jetzt addieren wir Gleichung 1 zu Gleichung 2 und erhalten:



Aus der zweiten Gleichung gewinnen wir nun:



Einsetzten in die erste Gleichung ergibt:



Daraus erhält man nun:

Du musst dabei die Potenzgesetze anwenden: Dann ergibt sich:





Außerdem ist

Also ist der Nenner immer ungleich 0. Damit ist der maximale Definitionsbereich R

Du könntest ein kleines Auto bauen, welches durch eine Mausefalle angetrieben wird.
Das Ziel ist, dass dieses möglichst weit fährt.

Darüber gibt es auch tolle Videos zum Beispiel von Mark Rober:
https://www.youtube.com/watch?v=b7zWwo9dbiU&ab_channel=MarkRober

Folgender Tipp sollte dich zur Lösung bringen.

Berechen den Abstand vom Parkplatz zu einem beliebigen Punkt der Fulda. Der Punkt am Flussufer der Fulda ist durch (x | 2 - 1/2 x^2) gegeben.

Nun wirst du feststellen, dass dieser Abstand eine Funktion ist, die von x abhängt.

Vielleicht hat diese ja ein globales Minimum...

Ein Beispiel wäre: über IR.

π/2 ist die kleinste positive Nullstelle des Cosinus

Der Umfang eines Kreises ist 2*pi*R, wobei R der Radius ist. Alternativ kann man auch pi*D verwenden, wobei D der Durchmesser ist. Der Flächeninhalt ist pi*R^2

Es gibt folgende Formeln:



Nun musst du erkennen, welche der drei Formeln du verwenden musst. Bei a) hast du



Also kannst du die zweite Formel verwenden:



Alternativ kannst du die erste Formel verwenden:

Ich rechne dir mal die b) vor. Bei Aufgabe c) musst du das gleiche machen.

Netterweise wurde schon das rechtwinklige Dreieck mit den Eckpunkten A,C und M eingezeichnet. Du weißt, dass im rechtwinkligen gilt: sin(20°)=r/AM (Der Sinus eines Winkels ist ja Gegenkathete durch Hypothenuse; der Winkel von 40° wird durch AM halbiert, weshalb man auf 20° kommt). Nun kannst du nach AM umformen und AM berechnen.

Du kannst dir leicht überlegen, dass die Kugel am meisten an dem Punkt herausragt, der sich direkt überhalb von M befindet. Diesen Punkt nennen ich einfach mal P.
Nun ergibt sich AP=AM+MP=AM+r. Wenn du jetzt noch 65mm abziehst, kommst du auf x.

Man kann keinen Wert angeben, wie oft sich das Vorderrad dreht. Man kann aber ein Ergebnis in Abhängigkeit des Umfangs U des Rads bzw. dem Radius R des Rads angeben:

So ist die Anzahl der Drehung N gleich 5500/U. Wenn man möchte kann man U auch "explizit" angeben und durch 2πR ersetzen. Das übersteigt aber das Niveau der vierten Klasse. Man könnte aber darauf kommen, dass der Umfang irgendwie von Radius amhängt.

Warum konvergieren Mathematiker?

Weil sie beschränkt und monoton sind.

Du kannst den x-Wert einfach in f einsetzen:

Da x-1 für x=1 gleich 0 ist, ist f auch schon 0. Deshalb verläuft der Graph durch (1,0)

Das ist leider kein gültiger Beweis. Du kannst von beiden Seiten einer Ungleichung Werte abziehen. Jedoch kannst du den Ausdruck |(-1)^n - a| nicht durch epsilon ersetzen. (Beispiel hierfür: 1 <= 10, 1 < 100, aber 100 <= 10 stimmt nicht, obwohl die Aussagen davor wahr sind)

Jetzt zu der Aussage, die du zeigen/ bzw. widerlegen sollst. Es gibt verschiedene Ansätze, die dich zur Lösung führen:

1. Falls ihr in der Vorlesung schon limsup und liminf kennengelernt hast, kannst du es hiermit machen. Diese existieren immer und falls der lim existiert, so gilt lim=limsup=liminf (Diese Aussage solltet ihr auch in der Vorlesung ghezeigt haben). Du kannst limsup und liminf ausrechnen und schauen, ob sie gleich sind. Falls sie nicht gleich sind, so konvergiert die Folge nicht.
2. Du kannst dir mal überlegen, welche Kandidaten es für den Grenzwert gäbe - schließlich sind es ja nicht viele. Nun kannst epsilon = 1 wählen. Also existiert ein N aus IN, sodass für alle n>=N gilt: |a_n - a|< epsilon = 1, wobei a der Grenzwertkandidat ist. Nun sollte a_N oder a_{N+1} die Ungleichung verletzen. Dies wirst du sehen.