Es gibt hier klar definierbare Sachverhalte.
Zum einen Lese ich aus deiner Frage heraus, dass deine Mutter den Mietvertrag hat, also ist sie haftbar und nicht du.
Du musst gar nichts zahlen, weder an deine Mutter noch an den vermieter oder an das Amt, dass muss deine Mutter.
Du kannst überhaupt keinen Schufa eintrag bekommen, wenn du überhaupt nicht im Mietvertrag genannt bist.
Der Schuldner ist deine Mutter und nicht du, ebenfalls wird deine Mutter auch nicht so schnell bei der Schufa landen, da dieses Geld vom Amt verlangt wird.
Das Amt schreibt deiner Mutter im regelfall einen Brief und erwähnt darin auch was von wem zu zahlen ist und sogar aus welchem Gesetz das Amt sich beruft.
Sollte der Brief an deine Mutter gegangen sein ist die Forderung auch von Ihr aufzutreiben und nicht von dir.
Da du Schulzeugs erwähnt hast und noch keine 25 bist, gehe ich davon aus, dass deine Mutter Kindergeld für dich bekommt sind aktuell knapp 190€
Dein unterhalt steht dir selbst zu, allerdings kann auch das Amt eine Mietzahlung für dich festlegen, da auch das Amt jedes Mitglied der Familie als Mieter zählt. In dem Fall ist es nicht ganz ersichtlich ob du auch Miete zahlen musst oder nicht. Das hängt davon ab ob du Arbeitest oder wie viel du neben der Schule verdienst.
Der andere Sachverhalt ist leider der Private und der weitaus schwierigere.
Man kann sich bei allem auf sein Recht berufen, jedoch ist es bei der Familie immer etwas schwieriger für einen selbst.
Einfaches bsp.
Wenn dein Vater dir anstatt 280€ nur noch 260€ gibt, obwohl dir z. B 280€ zustehen, kannst du dies natürlich gerichtlich einklagen und auch einen Anwalt holen oder sonstige rechtliche Schritte einleiten.
Es ist aber so, dass nicht jeder für die 20€ im Monat rechtliche Schritte einleitet, da es sich hierbei um ein Familienmitglied handelt und auch ein mühsamer weg für das Geld ist.
Der 2. Sachverhalt ist wie gesagt bereits der schwierigere, willst du dich mit deiner Mutter so lange streiten, den kontakt aufs spiel setzen für 600€ oder lässt du es bleiben.
Da niemand hier deine Mutter kennt, weiß auch niemand wie du am besten mit ihr sprechen kannst.
Einfach aus respekt dessen, gebe ich auch kein Kommentar ab wie: "Rede mit ihr ausführlich darüber", da einfach niemand weiß ob sie überhaupt mit sich reden lässt.
Das musst du entscheiden und auch du ausfechten, von der rein rechtlichen Situation aber, bist du auf der guten Seite, mehr kann ich leider auch nicht beurteilen.
Bei Fragen einfach Pn an mich oder Kommentar :D