Ist das rechtlich in Ordnung?
In Deutschland herrscht Privatautonomie. Damit kann die Höhe der Miete grundsätzlich frei zwischen den Vertragsparteien vereinbart und verhandelt werden.
Darf der Vermieter bei einem Mieterwechsel die Miete einfach erhöhen?
Rechtlich gesehen ist das der Abschluss eines neuen Mietvertrages und keine einseitige Mieterhöhung.
Kann ich versuchen, über die Miete zu verhandeln?
Siehe oben.
Ich habe aber auch Angst, dass ich die Wohnung verliere, wenn ich verhandle oder kritisch nachfrage.
Das kann natürlich sein, wenn die Nachfrage entsprechend hoch ist. Danach bestimmt sich ja auch die Miethöhe. Wenn jemand ein Auto verkaufen möchte und ein Interessent 1000 Euro mehr bietet, dann wird man im Regelfall auch an diese Person verkaufen.