Im Prinzip ergibt sich ja fuer eine Funktion g(x,y) die Tangentialebene an einem Punkt (x0,y0) durch

z = g(x0,y0) + g_x(x0,y0)(x-x0) + g_y(x0,y0)(y-y0)

wobei g_x und g_y die Ableitungen der Funktion nach x und y sind

siehe z.B http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/TangentPlanes.aspx

In deinem Fall ware z.B g_x = d/dx y*f(x/y) = y f'(x/y) 1/y, weil wenn Du f(x/y) als f(u) betrachtest, ergibt sich mit d/dx f(u) = d/du f(u) du/dx, also eben y f'(u) 1/y

Jetzt brauchst Du nur mehr die Ableitung nach y und alles in die obige Gleichung einsetzen (x0,y0 beliebig und x = y = 0), mit den Vorzeichen aufpassen (ich habe mich mindestens zwei mal vertan) aber zum Schluss sollte z = 0 rauskommen

Ich bin mir nicht ganz sicher, und kann auch nur eine Daumen mal pi Antwort geben, aber deine Integrationsvariable sollte eigentlich entlang der Diagonale verlaufen, weil Du Deine Dreiecke dort definierst. Dann solltest Du etwas in die Richtung

2 int_0^{a/sqrt(2)) (2x) h_e / 2 dx = 2 int_0^{a/sqrt(2)) x^2 h / a sqrt(2) dx = 2*sqrt(2)/a h int x^2 = 2sqrt(2)/a h a^3/2/sqrt(2)/3 = h a^2 1/3

Die Begründung, wieso es mit dem Integral über die Seite nicht so ganz funktioniert, geht gefühlsmässig über die Definition des Integrals über Riemann Summen

int f(x) dx = lim_{Delta \rightarrow 0} sum_i f(x_i) * Delta

Deine Dreiecke sind entlang der Diagonale definiert, also wird ein Delta entlang der Seite, ein Delta*sqrt(2) entlang der Diagonale, und da ist plötzliche der sqrt(2) Faktor da.

Oder anderes gesagt: Über das Substituieren bekommst du dx = sqrt(2) dy

Ist wie gesagt nicht wirklich eine genaue Begründung, aber vielleicht hilft die Idee dahinter

Du musst beweisen, dass die Formel stimmt. Eine Möglichkeit dazu, wäre über die Flächen der Dreiecke. Im Prinzip muss sich ja das originale Dreieck, das über c und h definiert ist, aus den 3 Teildreiecken und dem Quadrate ergeben. Also alle Flächen ausrechnen und vergleichen

Hallo

Im Prinzip geht's mit zwei mal partiell integrieren von -cos(x)cos(x) und einem kleinen Trick.

Beim ersten mal partiell Integrieren wird ein Integral-term Int sin^2(x) auftauchen, beim zweiten mal bekommt man eine Form

Int cos^2(x) = f(x) - Int cos^2(x) .

Jetzt könnte man natuerlich glauben, dass man im Kreis gelaufen ist, aber einfach den cos-Term von rechts nach links schaufeln und man bekommt

2 int cos^2(x) = f(x) oder int cos^2(x) = f(x)/2

Hallo

Nun ja, ich habe 3 Unbekannte, das heisst, ich brauche drei Gleichungen.

Zwei bekomme ich aus der Tatsache, dass bei x = 20 beide Funktionen gleich sein sollten, und auch deren Ableitungen (weil sonst waeren sie ja dort nicht stetig)

Also weiss ich, dass z.B. 10*20^2 + a = b * 20 + c ist. Mit der Ableitung bekommst Du die zweite Gleichung. Und die dritte ergibt sich aus der Tatsache, dass K(30) = b*30 + c = 54000.

Also wenn Peter 18km/h faehrt, legt er in einer Stunden 18 km zurueck.

Wieviel legt er dann in 20 Minuten zurueck?

Hallo

Das ist vielleicht nur unglücklich formuliert. Damit ich eine Interferenz von zwei Wellen bekomme, sollte ein Phasenunterschied da sein, der Unterschiedlich von 0 ist. Da die ganze Geschichte aber periodisch mit Periode 2*pi ist (im Prinzip geht es ja um den Faktor e^{i * phi}), reicht es, sich die Phase in [0,2pi) oder [-pi,pi) zu betrachten. Oder anderes betrachtet, wenn ich mich am Einheitskreis bewege, dann bin ich nach 2*pi wieder dort, wo ich gestartet bin, und bewege ich mich zum Beispiel um 2*pi + phi, dann lande ich im Prinzip dort, wo ich gelandet wäre, wenn ich mich nur um phi bewegt hätte

Ich benutze gerne inkscape, damit lassen sich pdfs, eps, und svg files nett bearbeiten, solange sie auf einer Seite Platz haben

Hallo,

bei b) bin ich nicht deiner Meinung. Im Prinzip geht es ja darum, wann darf ich Summen aufteilen, und wie darf ich Summen aufteilen. Bei b) wuerde ich dann aber

sum(a_i+c) = sum(a_i) + sum(c) = 14 + 496*c

nehmen, weil die Summe ist linear. Fuer a) kannst Du aehnlich rechnen. sum(a_i+b_i) = sum(a_i) + sum(b_i)

Bei c) ergibt sich sum(c*a_i) = c*sum(a_i) ergeben, weil die Summe linear ist, und du herausheben darfst

bei d) sehe ich im Moment nicht, wie man auf einen Wert kommen koennte Ein kleines Beispiel, dass man bei d) im Prinzip gar nichts aussagen kannst. Stell Dir einmal vor, in sum(a_i) ist jeder Summand für geraden index 0, und in sum(b_i) ist jeder ungerade summand 0. Damit ist ganz gleich, ob der Index gerade oder ungerade ist, a_i*b_i = 0 und damit ist die ganze Summe 0. Das heisst aber, wenn du sum(a_i) kennst und sum(b_i), heisst das noch lange nicht, dass Du irgendetwas ueber sum(a_i*b_i) sagen kannst. Vielleicht kannst Du eine Aussage ueber die obere Schranke der Summe treffen, aber ansonsten muss ich hier passen.

Das 1/2 ist klar, die Frage ist, wo ist das 1/3 geblieben? Aber einmal langsam. Als ersten Schritt würde ich einmal substituieren, d.h. wir setzen y = 2x + 1, damit ergibt sich dy = 2 dx oder dx = 1/2 dy, da kommt der 1/2 term her, jetzt brauchst du nur noch int y^3 dy loesen

Hallo,

im Prinzip musst Du nur zwei Ebenen schneiden. Die erste Ebenengleichung solltest Du aus Aufgabe c) haben, die zweite ist die Gleichung fuer die x1x3 Ebene, die sich durch x2 = 0 darstellen laesst. Zwei Gleichungen, drei Unbekannte, damit bekommst Du keine eindeutige Loesung, sondern in diesem Fall eine Gerade.

Praktisch hast du
I: ax1 + bx2 + cx3 = d
II: x2 = 0

Wenn Du II in I einsetzt steht die Geradengleichung eigentlich schon fast da

Hallo

Ich hoffe, ich sehe die Sache richtig, und dass ich keinen Denkfehler habe, aber ich wuerde einmal als Punkte A und B die Eckpunkte der Geraden nehmen (da sind noch zwei blaue Punkte frei).

AM + MC ergibt dann den Vektor mit Richtung AC. MB - MC sollte eigentlich die gleiche Richtung haben, wie AM - MC und ich multipliziere ja nur zwei Richtungsvektoren. Wenn ich von A ausgehen diesen Punkt in der Skizze einzeichne und D nenne, muessten eigentlich ABCD ein Rechteck aufspannen, wobei AD = AM - MC ist. Rechteck weil alle Punkte von M den gleichen Abstand haben und somit am Kreis liegen.

Damit ist aber AC * AD = 0 wegen dem rechten Winkel.Damit muesste eignetlich auch der Beweis von c) durchgehen(AM + MC) (MB - MC) = (AM + MC) (AM -MC) weil es nur auf die Richtung ankommt.(AM + MC) (AM -MC) = AM*AM - MC*MC = r - r = 0 wobei r der Radius des Kreises ist

Ein Alternative fuer b) waere auch die Verwendung von AM = M - A, und MC = C - M, usw. M ist hier als Punkt sondern als Vektor zwischen 0 und M zu interpretieren. Damit ergaebe sich (AM + MC) (MB - MC) als (M - A + C - M)(B - M - C + M) = (C - A) ( B - C) = AC * CB = 0 weil der Punkt C am Halbkreis liegt, und der Winkel 90 Grad betraegt lt. Thales

Sofern x nicht 0 ist, was es nicht ist, einfach rechts und links mit sqrt(x) = x^1/2 multiplizieren, das ergibt dann 1/2 = 3/2 x^2, und damit ergibt sich dann 2.)

Hallo,

ich habe das ganze noch nicht bis ins Detail durchgedacht, aber das Problem sind sicherlich auch die Zinseszinsen. Aber gehen wir es einmal langsam an. Wenn ich mich täusche, muessten die Schulden von Frau Baier nach einem Jahr

s_1 = (35000 - 4300) * 1.0775 sein, und weil ich faul bin schreibe ich es ein wenig allgemeiner als s_1 = (K - r) * (1+p/100)

Nach 2 Jahren haben wir die selbe Prozedur

s_2 = (s_1 - r) * ( 1+p/100 ) = [(K - r) * (1+p/100) - r] * (1+p/100) = K*(1+p/100)^2 - r * (1+p/100)^2 - r*(1+p/100)

Die ganze Prozedur ergibt somit a) eine rekursive Formel und b) wenn du immer wieder einsetzt eine geometrische Reihe

s_n = K(1+p/100)^n - r* sum_j=1^n (1+p/100)^j

Vorsichtshalber aber noch einmal überpfrüfen, ob es wirklich n ist und nicht n-1 oder n+1. Die Summe kann man mit Hilfe der Formel für a^n - b^n noch ein mal vereinfachen.

Ja, im Prinzip schon. n, die keine Primzahlen sind, kannst Du gleich durch die Abgeschlossenheit ausschliessen, 0 darf ja nicht in deiner Gruppe sein. Ich habe einmal angenommen das *n die Multiplikation modulo n ist. Assoziativität und neutrales Element sollten kein Problem sein. Das inverse Element ist ein wenig komplizierter. Da kann man sich aber den Beweis bei den Primzahlkörpern ausborgen.

Es reicht im Prinzip zu zeigen, dass die Multiplikation injektiv ist, d.h. 
a*b = a*c -> b-c = 0.
Wenn Du nun fuer ein gegebens a alle vielfachen a*b betrachtest, wobei b  {1,...,n-1} durchläuft, weisst Du, dass a*b nie 0 sein kannst und dass a*b eindeutig ist. Das bedeutet aber das die Multiplikation surjektiv ist, und dass du genau einmal auf das neutrale Element 1 stossen musst, und damit hat a ein inverses Element

Ich glaube, dass ist eine Frage, die sich mit ein wenig Nachdenken und ausprobieren loesen laesst. Also wenn eine Uhr 25 nach geht und eine andere 10 minuten vor, waere gefruehlsmaessig einmal die Uhr um 12:30 ein Kandidat fuer die Uhr, die 25 Minuten nach geht. Das einfach weil sie heraussticht. Damit geht sich dann aber auch die Ausgabe aus.

Das ist natuerlich im Prinzip kein Beweis. Aber wenn Du zu allen anderen Uhren die 25 Minuten gibst, kommst du nie in die 10 Minuten Umgebung einer der anderen Uhren. Also kann es meiner Meinung nach nur 12.55 sein.

Ich glaube, die Antwort auf deiner Frage liegt in der Ableitungsformel. Wenn ich mich nicht taeuschen, sollte ( f^{-1} )' (x) = 1 / ( f'( f^{-1}(x) ) ) sein. Damit sollte alles glatt durchgehen

Hallo

Eigentlich ein sehr nettes Beispiel, dass am Anfang komplizierter scheint als es dann im Endeffekt. Gipsarm hin oder her, eine Skizze hilft hier wirklich immens.

Wenn Du Dir die angehaengte Grafik ansiehst, versuche  die Diagonalen e und f mittels Pythagoras als über a,b,x und y auszudrücken. Also z.B (a+x)^2+y^2 = e^2, das gleiche machst Du mit f^2 und dann auch noch mit b^2.

Wenn Du dann alles richtig einsetzt und aufsummierst und ich mich nicht vertan habe, bekommst du am ende 2(a^2+b^2) = e^2+f^2. Lass Dich übrigens von den Qudraten nicht abschrecken, die sind in diesem Fall harmlos.

Hallo

Wenn ich den Begriff 'relative Lage' richtig interpretiere, geht es darum festzusellen, ob die Gerade die Kreis schneidet, und wenn ja, wie oft.

Du hast im Moment also zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Aus der zweiten Gleichung weisst Du ja schon, dass y = -0.5x + 10 ist. Das in die erste Gleichung einsetzen, und du bekommst eine quadratische Gleichung in x, die eintweder keine, eine oder zwei Lösungen (die Punkte an der die Gerade den Kreis schneidet) hat.

Daumen mal pi bekommst Du also: (x-9)^2 + (-0.5 x + 10)^2 = 20

Damit solltest Du fertig sein. Die Binomische Formel brauchst Du, um die quadratischen Terme (also (x-9)^2 und (-0.5+10)^2) aufzuloesen, und dann brauchst Du nur noch die pq-Formel anwenden.

Hast Du schon einmal lxrandr oder xrandr probiert ? Wenn Deine Grafikkarte mitspielt, solltest Du damit auch die Anordnung der Monitore setzen können.