Wie mache ich umkehrfunktion?
Ich verstehe nicht wie man eine umkehrfunktion macht von einer Funktion mit 2 Variablen?
2 Antworten
Für f1 gibt es keine eindeutige umkehrfunktion, da die Funktion nicht bijektiv ist.
Für f2 kannst du ein Gleichungssystem mit 2 neuen Variablen aufstellen:
u = x + 2y
v = 2x - y
Und dann jeweils nach x und y auflösen, um sie jeweils durch u und v darzustellen.
Wenn sie nicht injektiv ist, ist y := f(x) = f(x') für zwei unterschiedliche Werte x und x'. Dann müsste die Umkehrfunktion aber auf y sowohl den Wert x als auch x' annehmen, im Widerspruch zur Definition einer Funktion.
Wenn sie nicht surjektiv ist, gibt es ein y, das von der Funktion gar nicht angenommen wird. Dann ist die Umkehrfunktion auf y nicht definiert, ebenfalls im Widerspruch zur Definition einer Funktion.
Ergo: Wenn eine Funktion eine Umkehrfunktion hat, muss sie sowohl injektiv als auch surjektiv sein, i.e. sie ist bijektiv.
Die sind beide nicht bijektiv, d.h. Du bekommst jeweils eindeutige Werte für jede x,y - Kombination, aber umgekehrt gäbe es unendlich viele Kombinationen im Urbild, die auf eine bestimmte Kombination x, y abbilden.
Hast Recht, wir sind ja mit denselben Variablen unterwegs und beide Funktionen sind linear. Dann kannst Du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und die Kombi wird eindeutig, also bijektiv.
Dann umkehren und zur anderen Seite hin auflösung und Du hast Deine Komponenten-Umkehrfunktionen.
Ja halt so wie ich es in meiner antwort geschrieben habe lol
Hab ich jetzt auch gelesen. Dann können wir nun einigermaßen sicher sein, dass es stimmt. :-)
Wieso muss die Funktion bijektiv sein?