Wie löse ich das Taylorpolynom 6. Grades mithilfe der Reihendarstellung?
Folgende Aufgabe ist in einer Mathe Altklausur zu finden:
Man berechne von der Funktion f(x)= das Taylorpolynom vom Grad 6 zum Entwicklungspunkt x0=0 (möglichst ohne selber abzuleiten!)
Ich schätze mal, es ist auf die Reihendarstellung von der Sinus- und E-Funktion abgezielt.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
1 Antwort
Die Idee war richtig, man muss es halt noch hinschreiben,
sin(x^2) = x^2 - x^6 / 6 + .... Terme höherer Ordnung, aus der bekannten Reihenentwicklung. Ebenfalls bekannt:
exp(x) = 1 + x + x^2 / 2 + x^3 / 6 + ... Terme höherer Ordnung.
Das erste in das zweite eingesetzt, immer unter Weglassen von Termen der Ordnung grösser 6, die dabei entstehen:
1 + ( x^2 - x^6 / 6 ) + ( x^2 )^2 / 2 + ( x^2 )^3 / 6 + ..... Terme höherer Ordnung
= 1 + x^2 + x^4 / 2 + ..... Terme höherer Ordnung
Bei sin(x^2) oder sin(2x) kann man auf die bekannte Reihenentwicklung des Sinus zurückgreifen. Bei sin^2(x) ist es nicht so einfach, man kann versuchen, das Cauchy-Produkt der Sinus-Reihe mit sich zu berechnen oder direkt die Taylor-Entwicklung über die Ableitungen, ich habe ehrlich gesagt keine grosse Lust, das zu versuchen ….
Vielen Dank. Ich tue mir bei diesen Aufgaben jedoch immer beim Einsetzen schwer. Woher weiß ich, wie z.b. die Reihenentwicklung von Sin(x²), Sin²(x) oder Sin(2x) ist? Setze ich dann einfach bei sin(2x) für jedes x 2x ein? Und bei sin²(x) mache ich dann "Reihendarstellung von Sin" * "Reihendarstellung von Sin"?