Wie kann ich diesen Beweisvorgang zum Körperautomorphismus mathematisch formulieren?
Ich wollte beweisen, dass die Identität der einzige Körperautomorphismus ist.
Ein Schneller Beweis, dass nichts anderes ein Körperautomorphismus ist, ist der Hinweis, psi(0)=0 und psi(1)=1
Damit psi(0)=0 ist, heißt es ja, dass beim Term von psi keine Addition stattfindet, weil, wenn ich eine Addition hätte, so würde ich ja am Ende nicht 0 haben, mit psi(0).
Bei psi(1)=1, weiß ich, dass ich keine zusätzliche Multiplikation habe, weil wenn ich eine Multiplikation mit einer Zahl von Q hätte, so würde ja bei 1 eingesetzt nicht 1 rauskommen. So weiß ich mit dem Hinweis, dass nur noch die Identität übrig bleibt.
Aber wie formuliert man dies nun mathematisch?
1 Antwort
Ein Schneller Beweis, dass nichts anderes ein Körperautomorphismus ist, ist der Hinweis, psi(0)=0 und psi(1)=1
Nein.
Ein Körperautomorphismus muss das Additive neutrale Element auf sich selbst und das Multiplikative neutrale Element auf sich selbst abbilden.
Übung für dich: zeige dass dies gelten muss.
Hinweis i und ii stehen da nicht ohne Grund.
Nein, da gibts ja noch (a-bi).
WObei mir ist eben aufgefallen, dass meine Aussage keinen Sinn macht, z. B. f(x)=x^2 hat auch f(0)=0 und f(1)=1
Ich werde Hinweis 2 jetzt analysieren.
Aber gibt es eigentlich einen anderen Körperismorphismus von Q-->Q, außer die Id?
Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder?
Ja, aber was ich meine gibt es einen Körperisomorphismus bei Q-->AufIrgendetwasAnderes, muss nicht Id sien
Habe in einem neuen Thread übersichtlich die Frage gestellt, mit einem Beweisvorschlag: https://www.gutefrage.net/frage/ist-der-beweis-korrekt-um-zu-zeigen-dass-die-id-der-koerperisomorphismus-ist-bei-q--q
passt das um zu zeigen, dass die Identität = Körperautomorphismus ist?
Danke, hast Du ein Tipp, wie ich zeigen kann, dass das gilt? Z. B. psi(n/m) € Q, ich muss ja zeigen, dass das n/m sein muss, wenn psi ein beliebiger Körperautomorphismus ist, das gleiche für n € Z, aber wie kann ich da vorgehen?
Da dachte ich mir, ich argumentiere so, psi(0)=0 muss ja gelten, wenn psi(n) ungleich n wäre, würde ja nicht mehr gelten, dass psi(0)=0 ist, dann ist mir aber aufgefallen, dass z. B. psi(n)=n^2 auch 0 wäre bzw. du hast es ja auch erwähnt und bin da auch verzweifelt
Hab das jetzt versucht zu beweisen, an sich ist das ja trivial, aber ich verstehe gar nciht wie man das formulieren soll, es ist doch dann offensichtlich, dass psi(n)=n gelten muss, wenn psi(1)=1 gilt? Da es sonst ja bei N_0 nicht anders möglich sei, also was gibt es da zu beweisen?
Induktion? Also das mit dem 1+1, aber haben Induktion bis jetzt nur mit Summen genutzt
Aber wie beweise ich das? f(0)=0, f(1)=1 f(n)=n, f(n+1)=n+1? Was bringt mir da die Induktion?
Ihr hattet das Garantiert schon mit anderen fällen.
Selbst wenn nicht, du musst exakt die selbe Argumentation benutzten.
Zeige dass die Aussage für ein Startwert wahr ist.
Zeige dass wenn die Aussage für ein beliebiges n war ist, dass es dann auch für n+1 wahr ist.
Fertig.
Nein ehrlich nicht, studiere Wirtschaftsinformatik. Hatten das bei Informatikfächern mit Summen.
Also ich sage:
I. Induktionsanfang f(1)=1
II. Behauptung: es gilt für ein beliebiges n
Induktionsschritt n+1
f(n+1)=n*1+1 ?
Das soll der Beweis sein?
Aber was habe ich nun bewiesen? Dass für jedes n gilt, dass n auf n abbildet?
Genau, also gut ich habe gezeigt, dass für die natürlichen Zahlen gilt, dass die bei der Identität auf sich selber abbildet oder?
Okay, dann zeige ich das sagenw ir mal für die ganzen Zahlen und für die rationalen Zahlen, dann habe ich gezeigt, dass die Identität immer auf sich selbst abbildet, aber was bringt das ? Also dafür, dass ich beweisen will, dass kein anderes Automorph exisitert?
Genau, also gut ich habe gezeigt, dass für die natürlichen Zahlen gilt, dass die bei der Identität auf sich selber abbildet oder?
Och mann.
Hast du immer noch nicht kapiert, dass du davon ausgehen sonst, dass psi ein beliebiger automorphismus ist, und dann folgern sollst, dass psi die Identität sein muss?
Du nimmst nicht dann, dass psi die Identität ist, du FOGERST es.
Gerade konntest du zeigen, dass psi eingeschränkt auf die natürliche Zahlen zumindest die Identität ist.
Nun zeigst du dass es für die ganzen Zahlen gilt, und dann dass es fûr die rationalen gilt, weswegen psi dann die Identität sein muss.
Naja, das habe ich schon kapiert, aber warum ist das ein vollständiger Beweis?
Gerade konntest du zeigen, dass psi eingeschränkt auf die natürliche Zahlen zumindest die Identität ist.
Genau ich konnte zeigen, dass psi auf die eingeschränkten Zahlen die Identität sein kann, aber ich habe nicht gezeigt, dass es nicht was anderes noch geht, verstehst Du?
Wir haben nur gezeigt, dass Psi immer auf sich selbst abbildet, wenn ich z. B. sage psi(x)=x+1, dann habe ich auch eine bijektive Abbildung, aber es gilt nciht mehr psi(x*s)=psi(x)*psi(s), also deshalb kein Automorphismus, ABER, ich muss das doch nachweisen?
Genau ich konnte zeigen, dass psi auf die eingeschränkten Zahlen die Identität sein kann, aber ich habe nicht gezeigt, dass es nicht was anderes noch geht, verstehst Du?
Nein. Psi eingeschränkt auf die Natürliche Zahlen IST die Identität, da du die exakt selbe Funktion bekommst, wenn du die Identität auf die natürliche Zahlen beschränkst.
Du willst am Ende zeigen, dass psi(x)=Id(x) für alle rationale Zahlen x gilt.
okay hmm, dann könnte ich doch für die ganzen Zahlen sagen auch ne Induktion nehmen? Kann ich auch sagen f(1)=1, f(0)=0 und f(n+1)=n*1+1?
Danke, okay aber warum muss man das rückwärts machen? Um auch die negativen Zahlen abzudecken oder? Weil mein Induktionsanfang ist 0 bzw. 1 und das sich nur im positiven Bereich befindet?
Ah weil positiv ist schon gezeigt. Aber ich habe ja gar nicht die Subtraktion? Gibt ja nur Addition, aber ich könnte sagen psi(n+(-1))= n*1*(-1)+(-1) oder?
Aso dass sollte *-1 sein. Man kann ja sagen psi(-1)=-1, weil -1*psi(n)=-1*n oder? Weil habe für ganze positive Zahlen ja schon bewiessen,d ass psi(n)=n ist?
Man weiß ja, dass psi(n)=n für natürliche zahlen, nun sage ich psi(n)*psi(-1)=n*-1, da es ein isomorph ist, gilt nun auch psi(n*(-1))=n*-1? Ahhhh nee, ich kann ja nicht sagen psi(-1)=-1
aso ich kann sagen n+(-n)=0 , also ist (-n)+(n+(-1)=-1, daher folgt psi(-1)=-1?
-psi(n)=-n, nun kann man sagen, n+(-psi(n))=0 und psi(n+-(n))=psi(0)=0, daher folgt ps(-n)=-n?
Dann haben wir ja gezeigt, dass es nun auch für die ganzen Zahlen gilt. Nun was ich mich bei den rationalen Zahlen verwirrt, wir haben oben stehen z/m, wir haben doch keine Division auf dem Körper Q?
Hast Du noch für den letzten Schritt einen Tipp? Also das mit z/m? Ich habe doch gar keien Division bei einem Körper mit nur + und *? Manche meinten, dass das das multiplikative Inverse sei, aber 10/49 ist doch nicht 10*10^(-1)
Genau, das müsste ich ja machen, wenn da nichts stehen würde und ich das beweisen wollen würde.
Das habe ich verstanden.
Aber ich habe mich gefragt, dass wenn ich den Hinweis habe, also man sagt, bei Körperautomorphismus gilt psi(0)=0 und psi(1)=1 und es gibt nur eine Möglichkeit, wie psi(0)=0 udn psi(1)=1 ist, dann reicht das doch auch aus? Weil es wird gesagt, dass das beim Körperautomorphismus gelten muss, wenn ich nun beweise, dass das nur einmal geht, dann habe ich doch das auch bewiesen eigentlich?
(Ich mache das jetzt einfach normal, also nicht so, aber verstehst Du meinen Gedankengang? Wenn gilt, dass psi(0)=0 und psi(1)=1 sein muss und das nur mit einem Term geht, dann muss dieser auch der Körperautomorphismus sein, verstehst Du? Wenn ich z. B. 3-4 Terme hätte, dann würde das nicht gehen alleine und ich müsste üblich beweisen, aber so passt das doch?)