Wie funktioniert die h-Methode?

Hi!

Sie funktioniert, wenn man sie richtig anwendet, ausgezeichnet ^^

Spaß beiseite. Die h-Methode ist ein Verfahren, welches dazu dient, eine Ableitungsfunktion zu bestimmen. Dabei steht man vor dem Problem, dass man eine Steigung an einer bestimmten Stelle bestimmen will, zunächst aber nur die Sekante durch zwei auf dem Funktionsgraphen liegende Punkte bekannt ist.

Dabei sei P(x0 | y0) und Q(x1 | y1). Nun ist ja die Steigung der Sekante durch die Punkte

m = (y1-y0)/(x1-x0). 

Nun ist natürlich y = f(x), weshalb wir schreiben:

m = (f(x1)-f(x0)) / (x1-x0)

Nun wollen wir aber eine Tangente. Das heißt, wir verschieben den Punkt Q entlang des Funktionsgraphen unendlich nah an den Punkt P. Das heißt, x1 läuft gegen x0.

Nun haben wir also folgende Definition:

m = lim (x1 -> x0) (f(x1)-f(x0)) / (x1-x0).

Jetzt definieren wir uns die Differenz x1-x0 als h, also gilt

h = x1-x0.

Nach x1 umgestellt gilt folglich:

x1 = x0 + h.

Damit ist f(x1) = f(x0 + h)

Der Grenzwert von h muss nun also nach unserer neuen Definition (da h ja die Differenz zwischen x1 und x0 angibt und diese abnimmt!) gegen null laufen. 

Wir erhalten also folgende Definition für unsere Tangentensteigung:

lim(h -> 0) = ( f(x0 + h) - f(x0) ) / h,

oder vereinfacht:

lim(h -> 0) = ( f(x + h) - f(x) ) / h.

Damit lässt sich an jeder Stelle x die dazugehörige Steigung berechnen. Der Graph, der Die Steigungen an allen x-Werten der Funktion f beschreibt, ist die Ableitungsfunktion. Das heißt, es gilt:

f'(x) = lim(h -> 0) = ( f(x + h) - f(x) ) / h.

Darüber kannst du jetzt (da du Grenzwerte und Grenzwertsätze hoffentlich schon hattest) die Ableitungsfunktion einer beliebigen Funktion f bestimmen.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen, bei Fragen melde dich :)

LG