Was ist der Unterschied zwischen Konvergenz und absolute Konvergenz (Mathematik)?

2 Antworten

  Das gilt insbesondere auch für komplexe Reihen. Beachte:

  absolute Konvergenz <===> unbedingte Konvergenz

   Unbedingte Konvergenz betrifft aber nur eine Permutation der Reihenglieder. Weil geometrische Reihen konvergieren z.B. absolut. Jetzt könnte ich ja Folgendes machen:

   r < n >  =  a0 + a1 + a2 + ... = 0.22222  ...    ( 1a )

   s < n >  = b0 + b1 + b2 + ... = 0.3333  ...   ( 1b )

  r < n >  +  s < n >  = ( a0 + b0 ) + ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + ... =  ( 2a )

   = 0.555   ( 2b )

   Das ist KEINE Permutation ===> Ordinalzahlen. Die Ordinalität einer Reihe möchte ich mal als ihre Länge bezeichnen.

   Das " letzte " Glied von ( 1a ) wäre a ( w ) = ihrem Grenzwert; kann man das bei absolut konvergenten _Reihen pberhaupt so auffassen?

   Ich sage praktisch, du addierst auf bis a ( w ) und dann von b0 bis b ( w * 2 ) , demnach eine Monsterreihe der Länge w * 2 . Kann man sagen, dass die in irgendeinem Sinne absolut konvergiert? Weil dann könnte ich auch hier unendlich viele Glieder umordnen so wie in ( 2a ) Frage an deinen Prof:Lässt sich der Begriff der unbedingten Konvergenz verallgemeinern auf beliebige Ordinalzahlen?

Bei absoluten Konvergenz konvergiert auch die Summe der Beträge.

Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt. Die alternierende Reihe ist beispielsweise konvergent, aber nicht absolut konvergent, weil die harmonische Reihe divergiert.

Hätte man übrigens auch alles leicht googeln können: https://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz

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schon vergessen, dass die leute hier fragen stellen, nicht wissen was google ist?

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