Was bedeutet bei der Konvergenz einer Folge, dass fast alle Folgeglieder in der Umgebung liegen?
Hallo, siehe Wiki
Kann mir einer ein konkretes Zahlenbeispiel geben, was damit gemeint ist? Vielen Dank.
1 Antwort
Bei einer Folge (also einer Abbildung von den natürlichen in die reellen oder komplexen Zahlen) bedeutet "fast alle" alle bis auf endlich viele. Aufgrund der Ordnungseigenschaft von N ist dies gleichbedeutend mit "es gibt ein N0, so dass die gewünschte Eigenschaft für alle N größer als N0" gilt.
Konkret nehmen wir die Folge a_n = 1/n. Diese konvergiert gegen 0. Sei nun für epsilon > 0 eine Umgebung U = [-epsilon, epsilon] um 0 gegeben. Dann gibt es aufgrund des archimedischen Axioms ein n0 mit n0 > 1/epsilon. Nun ist leicht zu zeigen dass für alle n mit n > n0 gilt dass a_n < epsilon, also dass a_n € U. Ausserhalb von U liegen also höchstens nur Folgenglieder mit n < n0, das sind höchstens endlich viele. Fast alle Folgenglieder liegen also in U.
"Fast alle" ist eine wichtige mathematische Formulierung, die du dir gut aneignen solltest.
