Warum ist Sg∘Sh nicht kommutativ?
Hallo
Hier habe ich eine Frage zur Geometrie:
- Warum führt die se Konstruktion um mit den Angaben: T = Berührpunkt des Innkreises mit AC, dem Punkt B des Dreiecks und der Winkelhalbierenden y das dazugehörige Dreieck zu konstruieren nicht:
T an w Gamma spiegeln = T‘. Gerade g durch B und T‘. Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden Gamma= C. Gerade h durch C und T. B und T verbinden. Schnittpunkt mit w Gamma = W da ja T der Berührungspunkt des Inkreises an der Seite AC ist. Innkreis zeichnen/konstruieren. Gerade durch B so dass sie denn Innkreis berührt.
Ist es nicht kürzer wenn man zwei Punkte AB nicht über eine Strecke AP + PB verbindet wobei P der Schnittpunkt der Strecke AB‘ an g ist sondern über AM + MB wobei M der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke AB mit der Geraden g ist.
Was heisst: Sg ∘Sg=id? Was soll das „id“ bedeuten?
Warum ist bzw. wie lautet der Beweis dafür das zwei Spiegelungen hintereinander einer Drehung um den doppelten Winkel zwischen den zwei Spiegelachsen handelt?
Warum ist bei zwei verknüpften Spiegelungen die Kongruenzabbildung die auf die erste Figur führt eine Drehung mit einem Drehwinkel der Grösse des doppelten Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen?
Warum ist Sg∘Sh nicht kommutativ? Gibt es Ausnahmen in denen zwei Spiegelungen kommutativ sind?
Warum gilt dies beim Problem von Fagnano:
Warum ist die Basis WW‘‘ am kürzesten wenn die Schenkel möglichst klein sind? Und warum ist dies bei minimalen CW der Fall? Warum ist dies der Höhenfusspunkt?
Warum ist der Winkel bei C unabhängig von der Wahl von W,? Warum ist das Dreieck W’CW‘‘ gleichschenklig?
Danke
4 Antworten
B. Zu deinem Konstruktionsproblem:
BA. Prüfe zur Vorsicht, ob ich die Voraussetzungen richtig erfasste: Augenscheinlich sind einzelne Punkte vorgegeben (T und B; etwas ungewöhnlich), sowie die Winkelhalbierende w von γ (deren Position in der Ebene bekannt sein muss, sonst könntest du nicht T an ihr spiegeln).
Die von dir angegebene Konstruktion funktioniert bis zur Betrachtung von (TB); diese Gerade ist nicht die Winkelhalbierende von β, weil eine Winkelhalbierende die ihr gegenüberliegende Seite keineswegs im Berührpunkt des Inkreises schneidet. Richtig geht es z.B. so weiter:
Das Lot in T auf (TC) schneidet w im Inkreismittelpunkt I. Der Inkreis k um I mit Radius IT schneidet den Thaleskreis über IB in (T' und ) dem Berührpunkt T'' von k an (AB); also schneiden die Geraden (T''B) und (CT) einander in A. (Du schreibst zwar "Gerade durch B so dass sie denn Innkreis berührt.", bleibst aber die Ortslinie, also den Thaleskreis, schuldig.)
BB. Dein restlicher Text:
"Ist es nicht kürzer wenn man zwei Punkte AB nicht über eine Strecke AP + PB verbindet wobei P der Schnittpunkt der Strecke AB‘ an g ist sondern über AM + MB wobei M der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke AB mit der Geraden g ist."
ist schlicht unverständlich, denn die Punkte P und B' sind nicht definiert. Wie willst du die Mittelsenkrechte von AB konstuieren, solange du A nicht kennst? Insoweit ist unklar, wie du zu M kommst.
Die eigentliche Aussage (deine Frage) konnte ich also nicht prüfen, was schon an der zu unklaren Darstellung der Voraussetzungen scheitert -> Nachbesserung empfohlen.
C. Ich kann keinerlei Zusammenhang zu den vorgelegten Fragen zur Hintereinanderausführung von Spiegelungen erkennen. - ?? -
Für deine Fragen gehe ich von einer (zweidimensionalen) Ansschauungsebene aus.
A. Ich beantworte zunächst die Fragen, die ich ohne vollständiges Verständnis deines Textes sicher beantworten kann, und lege die nachgefragten Beweise vor.
- Produkt zweier Spieglungen ist eine Drehung: Dies gilt nur, wenn die Spiegelachsen einander schneiden (sind sie parallel, so ist das Abbildungsprodukt eine Parallelverschiebung).
AA. Am elegantesten finde ich, die Anschauungsebene mit der Ebene komplexer Zahlen zu identifizieren, wobei die Spiegelachsen sich in deren Ursprung schneiden. Eine Spiegelachse g nehme mit der reellen Achse die Winkel α ein. Dann überführt eine Spiegelung einen beliebigen Punkt (Polarkoordinaten-Schreibweise)
p = r * e^(i φ) = r * e^(i (φ - α)) * e^(i α)
in den Punkt
p' = r * e ^(i (α - φ) ) * e^(i α) = r * e^(i(2α - φ),
der den gleichen Betrag r hat, aber mit dem Punkt e^(i α) der Spiegelachse den entgegengesetzt orientierten Winkel einnimmt.
Das Produkt zweier Spiegelungen, die den Winkel α bzw. β mit der reellen Achse einnehmen, ist also:
p = r * e ^(i φ) ) ->
p' = r * e^(i(2α - φ) ) = r * e^(i(2α - φ -β)) * e^(i β) ->
p'' = r * e^(i( β - (2α - φ))) * e^(i β)
= r * e^(i( 2β - 2α + φ)); (1)
- Hiermit siehst du sofort , dass eine Hintereinanderausführung zweier gleicher Spiegelungen ( = "Hin- und Zurückspiegeln") die identische Abbildung ergibt ( = es passiert überhaupt nichts), also Sg ∘Sg = id, denn für α = β ist
p'' = r * e^(i( 2β - 2α + φ))p = r * e^(i( 0 + φ))p = p
in (1). - Weiter folgt mit
- r * e^(i( 2β - 2α + φ)) = r * e^(i φ) * e^(i( 2(β - α))) = p * e^(i( 2(β - α))),
dass das Produkt zweier Spiegelungen eine Drehung um den Winkel 2(β - α) ist, denn der Faktor e^(i( 2(β - α))) ist eine Drehnung von p um diesen Winkel; und 2(β - α) ist das Doppelte des Winkels β - α, den die Spiegelachsen bilden (dazu musst du dir nur klar machen, wie α und β definiert sind, s.o.). Genauso einfach:
Spiegelungen sind nicht im Allgemeinen kommtativ, denn die Drehungen um 2(β - α) und um 2(α - β) sind entgegengesetzt orientiert (und rechts herum ist eine andere Drehung als links herum);
anschaulich sind zwei entgegengesetzt oreintierte Drehungen (ausnahmsweise) identisch, wenn der Drehwinkel (ein ganzzahliges Vielfaches von) π ( = 180°) ist; unabhängig von der Orientierung des Drehwinkels ist eine solche Drehung eine Punktspiegelung. Nachgerechnet:
Es ist e^(2 i π) = 1 (Anschauung. Die Drehung um 2 π = 360° ist die identische Abbildung.) Werden in einem Abbildungsprodukt von Spiegelungen, das eine Drehung um π ergibt, die Spiegelungen vertauscht, so ist:
2(α - β) = π -> 2(β - α) = -π; mit e^(2 i π) = 1:
e^(-i π ) = 1 * e^(-i π ) = e^(2 i π) * e^(-i π ) = e ^( - i π + 2 i π) = e^( i π) , eingesetzt:
p * e^(i( 2(β - α))) = e^( i π) = e^(-i π ) = p * e^(i( 2( α -β))), q.e.d. - Mit
- 2(β - α) = π -> α + π/2 = β
ist das Produkt zweier Geradenspiegelungen genau dann eine Punktspiegelung (und die Spiegelungen sind kommutativ), wenn die Spiegelachsen aufeinander senkrecht stehen (das ist die "Ausnahme").
AB. Das alles lässt sich in ganz analoger Weise auch mit Matrizen rechnen (Spiegel- und Drehmatrix). Ich sehe allerdings keinen besonderen Vorteil darin, außer dass er den Umgang mit komplexen Zahlen "erspart". Ist alledings auswändiger zu schreiben.
Mal es dir auf - nimm zwei nicht rechtwinklige Spiegelachsen und führe die Spiegelungen für einen Punkt durch, dann siehst du, dass das nicht kommutativ ist. Ja, es gibt Ausnahmen (wenn du meine Anweisung liest, weißt du auch, welche).
Id ist das Kürzel für die identische Abbildung, wenn du dieselbe Spiegelung wiederholst, kommst du wieder auf die ursprüngliche Konstellation zurück.
Ansonsten: Das sind ein Haufen Fragen. Ich hab mir mal angeschaut, was du sonst so fragst und vor allem, wie du mit den Antworten umgehst. Kein Danke, keine Auszeichnung als hilfreichste Antwort, nicht mal ein Daumen hoch für die Antworten, auch wenn die Antworter sich viel Mühe geben. Wenn ich das sehe, vergeht mir komplett die Lust, mich jetzt hinzusetzen und dir all das zu erklären. Vielleicht hast Du Probleme mit dieser Art von Interaktion, dann häng dir einen Zettel an den Rechner, der dich daran erinnert: Danke sagen und reagieren, wenn jemand sich die Mühe macht, dir zu helfen.
D. In deinen Fragen zum Fangano-Problem sind die Punkte nicht definiert, so dass niemand wissen kann, was du meinst.
Ich fand das Problem von Fagnano unter >http://de.wikipedia.org/wiki/Fagnano-Problem. Vielleicht formulierst du deine Fragen unter Verwendung der dort eingeführten (und allgemein zugänglichen) Bezeichnungen noch einmal. Oder du fügst deinen Fragen ein Bild zu, auf dem die Punkte erklärt sind, die du nennst.