Warum ist die Multiplikation mit 0 keine Äquivalenzumformung?

Weil sie nicht umkehrbar ist. a ⇔ b bedeutet a ⇒ b ∧ a ⇐ b

3x = 6 ⇒ x = 2 ∧ x = 2⇒ 3x = 6, aber

3x = 6 ⇒ 0 = 0 (nach Multiplikation mit 0)  

findet keine eindeutige Rückkehr zu 3x = 6.
Es gibt keine Operation, die von 0 = 0 zu 3x = 6 führt. Es kann sie nicht geben. 
Wenn 0 = 0 muss nicht zwingend 3x = 6. Es könnte auch 4x = 6 sein.

Es entsteht ein Informationsverlust bei der Multiplikation mit 0.
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0 = 0 ist immer war. Es gibt dazu äquivalente Aussagen, z. B. wahr oder 1 = 1 oder 2x = 2x. In den Fällen kann man mit *0 Äquivalenzumformungen durchführen.
Mit +2x auf beiden Seiten kommt man z. B. wieder zurück von 0 = 0 auf 2x = 2x.

Also immer wahre Gleichungen kann man so umformen.

"In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lateinisch aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt (logische Äquivalenz)"

1 = 0 | * 0    [falsch]
0 = 0          [wahr]

Wenn du mit 0 multiplizierst ist jede Gleichung "wahr", auch wenn diese vorher "falsch" war. Das kann einfach nicht sein.

Weil *0 die Aussage ändert

Beispiel:

Die Gleichung  x+7 = x+6 hat keine Lösung

x+7 = x+6  |-x

7=6    ergibt eine falsche Aussage, 7 ist nie 6, es gibt also kein x für das die Gleichung gilt.

nimmt man dieses Ergebnis aber noch mal Null

7=6     |*0

0=0

0 = 0 ist immer wahr, die Gleichung hätte unendlich viele Lösungen

Bei der Gleichung

x + 10 = 0,5 *(2x + 20)

erhält man mit Äquivalenzumformungen auch Null = Null, was immer stimmt. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Du kannst das mit einsetzen von beliebigen Zahlen für x "überprüfen".

  Ein tödlicher Aspekt, den hier noch keiner gesehen hat.

   x - 1 = 0  |  *  ( x - 2 )   ; Lösungsmenge L1 = { 1 }          (  1a  )

   ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0  |  * ( x - 3 )  ;   L2 = { 1 ; 2  }       (  1b  )

   ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )  = 0     ;   L3 = { 1 ; 2  ; 3  }       (  1c  )

   Rein logisch hast du immer:

  x  €  L1  ===>  x  €  L2  ===>  x  €  L3      (  2  )

   Nur wenn der Umkehrschluss in der umgekehrten Richtung gelten würde, spricht man von einer Äquivalenzumformung. ( AU ) Auf beiden Seiten einer Gleichung das Selbe zu machen, ist eine zwar notwendige, aber noch lange nicht hinreichende Bedingung.

   Man sieht dies sehr schön bei den berühmten Bruchgleichungen. Ein einfaches Beispiel, das ich mir eben aus den Fingern gesaugt habe

                 1                              2 x + 7

    2  +    -----------    -       ----------------------------     =   0       (  3a  ) 

                x + 3                  ( x + 3 ) ( x + 4 )

      Auch hier gilt: NUR Multiplikation mit dem HN stellt eine AU dar. Es ist aber ein Irrtum zu glauben, dieser HN sei ( x + 3 ) ( x + 4 ) . Das merkst du nämlich , wenn du Term 3 ganz rechts in ( 3a ) einer ===> Teilbruchzerlegung ( TZ ) unterziehst, eine übrigens bei Bruchgleichungen UNERLÄSSLICHE Vorsichtsmaßnahme. ( Die TZ folgt übrigens Mühe los über das sog. " Abdecker-oder Zuhälterverfahren " , eine Metode der komplexen ===> Residuen-Integration. )

   Term 3  =  1  /  (  x  +  3  )  +  1  (  x  +  4  )       (  3b  )

    so dass sich effektiv die Polstelle bei x1 = ( - 4 ) raus kürzt:

     2   + 1 / ( x + 3 )  =  0       (  3c  )

Hallo,

weil Du es nicht rückgängig machen kannst.

2*3=6 ist äquivalent zu 6:2=3

Aber 0*3=0 ist nicht äquivalent zu 0:0=3

Herzliche Grüße,

Willy