Verbindung von Gruppenhomomorphismen?

hallo zusammen;

ich komme absolut nicht weiter in Mathe. Die Aufgabe lautet:

1. Zeigen Sie: Seien φ1,φ2 wie in Aufgabenteil (b) definiert.

(Teil B: Durch φ1((g1, g2)) := g1 ist ein Gruppenhomomorphismus φ1 : G1 × G2 → G1 gegeben. Bemerkung: Ebenso ist durch φ2((g1, g2)) := g2 ein Gruppenhomomorphismus φ2 : G1 × G2 → G2 gegeben)

Sind eine weitere Gruppe (H,⋄) und zwei Gruppen- homomorphismen ψ1 : H → G1 und ψ2 : H → G2 gegeben, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismusχ:H→G1×G2 mitφ1◦χ=ψ1 undφ2◦χ=ψ2.

Den Teil B habe ich soweit bewiesen anhand eines Zahlenbeispiels (also die Axiome abgearbeitet), nur diese Aufgabe überfordert mich total.. das Skript hilft da auch nicht weiter.

Kann mir jemand sagen, was gefragt ist? Bzw. zumindest einen Lösungsansatz liefern? ich bin wirklich ratlos und meine Kommilitonen ebenso.

Answer 1

[MagicalGrill]

Den Teil B habe ich soweit bewiesen anhand eines Zahlenbeispiels (also die Axiome abgearbeitet)

Da würde ich nochmal nachhaken: Ein Zahlenbeispiel ist kein allgemeingültiger Beweis. Du musst die Aufgabe für alle beliebigen Gruppen G1, G2 zeigen. Bevor du dich an die Aufgabe wagen willst, für die du hier nachgefragt hast, solltest du unbedingt einen allgemeingültigen Beweis für Teil B formulieren.

Die Aufgabe selbst schließlich ist eigentlich nicht so schwierig, sie sieht nur ein wenig einschüchternd aus. Als erstes solltest du dich fragen: Was macht denn so ein Homomorphismus x mit einem Element h von H? Also wie sieht x(h) aus, wenn x die Bedingungen erfüllt?

Da x eine Abbildung nach G1 x G2 ist, muss x(h) ein Paar von Gruppenelementen sein, nennen wir es x(h) = (g1(h), g2(h)).

Zeige nun, dass es überhaupt keine andere Möglichkeit gibt, als dass g1(h) = ψ1(h) und g2(h) = ψ2(h) gilt. Dies geht mithilfe der Bedingungen φ1◦χ=ψ1 und φ2◦χ=ψ2 und damit beweist du die Eindeutigkeit dieser Abbildung x.

Für die Existenz von x musst du nur zeigen, dass die Abbildung, die du gerade eben als die einzig denkbare Lösung identifiziert hast, wirklich ein Gruppenhomomorphismus ist.