Schnittgerade zweier Ebenen
Bei zwei Ebenen die zB lauten 3x1 +2x2 -4x3 = 5 ... Weiß ich wie man die Schnittgerade bestimmt aber bei Ebenen wo eine Koordinate "fehlt" also ich meine E: x2 - x3 = -2 hab ich keinen wirklichen Ansatz weil mir dann eine Zeile fehlt. Weiß jemand was ich meine und wie man das Problem löst? Danke im voraus.
3 Antworten
Die Gleichung
E: x2 -x3 = -2
ist zu
0x1 -1x2 -1x3 = -2
zu ergänzen, wie KDWalther schon schreibt.
Kopfrechnung ergibt, dass die Normalenvektoren der Ebenen nicht kollinear sind. Es gibt also eine Schnittgerade g der Ebenen.
Um einen Punkt von g zu bekommen, setzt du in der x1 enthaltendene Gerade x1 = 0 und löst das verbleibende System zweier Gleichungen mit zwei Variablen x2, x3. Da g existiert, hat dieses System eine eindeutige Lösung x20, x30. Der Punkt (0 | x20 | x30) liegt auf g.
Der Richtungsvektor von g ist bequem als Kreuzprodukt ( = vektorielles Vektorprodukt) der Normalenvektoren beider Ebenen zu bekommen.
Wenn bei beiden Ebenen die x1-Koordinate fehlt und die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, ist der Vektor (1 0 0 ) zum jeweiligen Normalenvektor beider Ebenen orthogonal und also Richungsvektor der Schnittgerade.
Vorstellung: Für beide Ebenen gilt, dass ausgehend von einem beliebigen Punkt P der betrachteten Ebene alle Punkte ebenfalls zur Ebene gehören, die den gleichen x2- und x3-Wert wie P haben, sich aber im x1-Wert beliebig von P unterscheiden (denn "0 mal x1-Wert" fällt in der Ebenengleichung weg). Alle diese Punkte liegen auf einer Parallele zur x1-Achse durch P. Also kannst du dir beide Ebenen aus Parallelen zur x1-Achse zusammengesetzt vorstellen. Genau eine dieser Parallelen ist die Schnittgerade und hat deswegen den angegebenen Richtungsvektor.
Ein Punkt bekommst du wie im oben beschriebenen Beispiel (nur brauchst nur x1 nicht 0 zu setzen, das Produkt von x1 mit seinem Koeffizienten ist sowieso = 0).
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, Sie haben mir sehr geholfen.
Wenn Du zwei "komplette" Ebenengleichungen hast, wirst Du doch wahrscheinlich mit dem Additionsverfahren bei einer der Gleichungen einer Variable eliminieren.
Das ist hier sozusagen schon fertig. Hier hast Du 0·x1 + x2 - x3 = -2 sowie Deine zweite Gleichung.
Du kannst also gleich an der Stelle einsetzen, an der Du sonst nach dem Additionsverfahren anlangst. Arbeit gespart, Problem vereinfacht.
Mein Problem ist wenn bei beiden Ebenen zB die x1 Koordinate fehlt. Das hätte ich vielleicht genauer formulieren sollen.
https://www.youtube.com/watch?v=m7cuNHPOEdA
und E2 = 0x1 +x2 - x3 = -2