Satz des Phytagoras aufgabe
,,Ein 11 m langer, konischer Baumstamm hat an seiner schmalsten Stelle einen Durchmesser von 52 cm, an seiner breitesten Stelle einen Durchmesser von 60 cm. Aus dem Stamm soll ein Balken mit quadratischem Querschnitt gerfertigt werden. Der Abfall wird zu Brennholz verarbeitet. Welche Seitenlänge kann das Quadrat Höchstens haben? Wie viel Brennholz entsteht." Mit einem Rechenweg bitte. Ich danke im vorraus !
2 Antworten
Mach dir eine Skizze vom kreisförmigen Querschnitt des Stammes, zeiche ein Quadrat hinein sowie eine seiner Diagonalen. Du wirst sehen, dass diese Diagonale gleich dem Durchmesser des Kreises ist.
Der Durchmesser des Stammes an seiner schmalsten Stelle ( 52 cm ) ist also gleich der Diagonalen des gesuchten Quadrates.
Ein Quadrat mit der Diagonalenlänge von 52 cm hat die Seitenlänge a (Pythagoras):
52 ² = a ² + a ² = 2 a ²
<=> a = Wurzel ( 52 ² / 2 ) = 36,77 cm (gerundet)
Ein 11 Meter = 1100 cm langer Balken mit quadratischem Querschnitt, dessen Flächeninhalt
a ² = 52 ² / 2
ist, hat ein Volumen Vb von
Vb = 1100 cm * 52 ² / 2 = 1487200 cm ³
Der Baumstamm entspricht einem Kegelstumpf mit der Höhe h = 1100 cm, dem großen Radius R = 30 cm und dem kleinen Radius r = 26 cm. Das Volumen Vk eines solchen Kegelstumpfes beträgt:
Vk = pi * h / 3 * ( R ² + R * r + r ² )
= pi * 1100 / 3 * ( 30 ² + 30 * 26 + 26 ² )
= 2713917,17 cm ³
Subtrahiert man hiervon das Volumen Vb des Balkens, dann erhält man das Volumen Vh des Brennholzes:
Vh = Vk - Vb = 2713917,17 - 1487200 = 1226717,17 cm ³
Das entspricht 45,2 % des gesamten Holzes des Baumstammes.
Die Diagonale des Balkens beträgt 52 cm, dies ist die Hypothenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks. Damit lässt sich die Dicke des Balkens leicht berechnen. Auch das Volumen des Balkens stellt nun kein Problem mehr dar. Der Baumstamm selbst stellt einen Kegelstumpf dar, von dessen Volumen du das Volumen des Balkens abziehen musst, und schon hast du das Volumen des Brennholzes. Rechnen musst du jetzt selbst.
Aber was ist Kathete a oder b ?