Periodische Dezimalzahl in einen Bruch?
Guten Abend (: Ich habe hier wieder mal eine Aufgabe wo ich nicht unbedingt weiter komme.
Diese lautet: Wandeln Sie 0,015 (15 stehen in Periode) in einen Bruch um.
Als Ergebnis soll 1/66 raus kommen, aber wie komme ich auf die Lösung ?
Vielen Dank (:
3 Antworten
1000 * 0,0p15 = 15,p15
10 * 0,0p15 = 0,p15
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(1000 - 10) * 0,0p15 = 15,p15 - 0,p15
990 * 0,0p15 = 15 |Äquivalenzumformung: /990
0,0p15 = 15/990 = 5 * 3 / (5 * 198) = 5 * 3 / (5 * 99 * 2) = 5 * 3 / (5 * 33 * 3 * 2) = 1 / (33 * 2) = 1/66
Noch ein Beispiel: 2,p9
10 * 2,p9 = 29,p9
1 * 2,p9 = 2,p9
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(10 - 1) * 2,p9 = 29,p9 - 2,p9
9 * 2,p9 = 27 |/9
2,p9 = 3
Man kann sich noch merken: Falls wir erstmal nur eine Zahl wie x=0.424242.... (mit Periodenlänge 2) betrachten, so gilt x=42/99 (dies ergibt sich, wenn man meinen in der ersten Antwort gegebenen Weg geht). Nun kann man noch schauen, was man allenfalls kürzen kann. Hier: x = 42/99 = 14/33 .
Bei Periodenlänge analog, etwa: 0.156156156.... = 156/999 = 52/333
Bei deinem Beispiel z = 0.015151515 kann man schreiben:
z = (1/10) * 15/99 ..... und dann ebenfalls kürzen. Dies sollte als Kopfrechnung drinliegen.
0,0p15 * 10 = 0,p15 = 15/99 |Äquivalenzumformung: /10
0,0p15 = 15/99 / 10 = 15 / (99 * 10) = 5 * 3 / (33 * 3 * 5 * 2) = 1/(33 * 2) = 1/66
Wenn der Bruch nicht vollständig gekürzt sein muss, ist auch 15/990 möglich.
Wie ich auf die Aussage von oben komme (0,p15 = 15/99):
Wenn bei einer Zahl die Periode sofort anfängt, musst die Zahl dividieren durch so viele Neune wie Nachkommastellen.
x = 0.01515151515....
100 x = 1.515151515....
Differenz bilden: 100 x - x = 99 x = 1.5
Beachte, dass die ganzen Periodenschwänze durch diese Differenzbildung herausgefallen sind.
Nun gilt also 99 x = 1.5 und demzufolge x = 1.5 / 99 = (3/2) / 99 = 1 / 66
(Mit dem Faktor 100 = 10^2 multipliziert man, wenn die Periodenlänge gleich 2 ist.)
Um z.B. eine Dezimalzahl wie 43.123451234512345... mit Periodenlänge 5 in einen Bruch umzuwandeln, sollte man mit 10^5 multiplizieren und dann also (10^5 - 1) * x betrachten.
1000x = 15,151515.....
10x = 0,151515.... abziehen
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990x = 15
x = 15/990 kürzen
x = 1/66
Danke das klingt alles sehr logisch. Nun habe ich aber vergessen zu erwähnen dass das im Kopf gerechnet werden muss...wie soll man bitte so eine Dezimalzahl in einen Bruch im Kopf berechnen ?😂