Mittlere änderungsrate (nr.16)?
Kann mir jmd mit Nummer 16 helfen
Komme überhaupt nicht klar
1 Antwort
Aenderungsrate: Die Aenderungsrate gibt an, wie stark sich die Temperatur mit der Zeit aendert - daher misst man sie in "°C pro Stunde". Die Temperatur aendert sich nicht immer gleich schnell, z.B. steigt sie frueh morgens nur langsam an, am Mittag aber dann staerker. Die Aenderungsrate aendert sich also auch mit der Zeit! Ist Dir der Begriff soweit klar?
Das Modell: Ich nehme an, dass Du das Schaubild schon gezeichnet hast. Die Funktion f aus der Aufgabe beschreibt den Temperaturverlauf ueber den Tag hinweg ungefaehr. Setzt man die aktuelle Stunde ein (also z.B. t=6 fuer 6:00 Uhr), erhaelt man die ungefaehre Temperatur in °C (also z.B. f(6) = 9,0).
Berechnung der Aenderungsrate: Anschaulich gesprochen entspricht die Steigung des Graphen an einer Stelle der Aenderungsrate. Verlaeuft das Schaubild steil nach oben (= hohe Steigung), nimmt die Temperatur schnell zu. Verlaeuft das Schaubild steil nach unten (= sehr negative Steigung), nimmt die Temperatur schnell ab. Verlaeuft das Schaubild eher flach (= kleine Steigung), aendert sich die Temperatur kaum.
Rechnerisch erhaelt man die Steigung des Schaubilds durch die Ableitung. Die Ableitung f'(t) kannst Du bestimmt berechnen! Wenn Du dann einen Zeitpunkt einsetzt, erhaelst Du die Aenderungsrate zu diesem Zeitpunkt. Dazu zwei Beispiele:
- f'(7) = 0.22, d.h. um 7 Uhr nimmt die Temperatur etwa um 0.22 °C pro Stunde zu.
- f'(13) = 1.47, d.h. um 13 Uhr nimmt die Temperatur etwa um 1.47 °C pro Stunde zu.
Dieses Beispiel zeigt nochmal genau das, was wir anhand des Schaubilds schon vermutet hatten: Morgens steigt die Temperatur langsamer als mittags. Kannst Du mir bis hierhin folgen?
Mittlere Aenderungsrate: Da sich die Aenderungsrate selbst permanent aendert, kann man sich natuerlich fragen, wie hoch diese Aenderungsrate in einem bestimmten Zeitraum durchschnittlich ist. In Deinem Schulbuch findest Du wahrscheinlich einen Merksatz dazu, wie man den durchschnittlichen Wert einer Funktion auf einem bestimmten Bereich berechnet:
Der Mittelwert einer (stetigen) Funktion g auf dem Intervall [a, b] ist gegeben durch 1 / (b-a) * integral_a^b g(x) dx.
Wenn wir also z.B. die mittlere Temperaturaenderung zwischen 9 und 12 Uhr ausrechnen wollen, muessen wir den Mittelwert von f' auf dem Intervall [9, 12] ausrechnen! Setzen wir mal ein:
1 / (12 - 9) * integral_9^12 f'(x) dx
= 1 / (12 - 9) * [ f(x) ]_9^12
= 1 / (12 - 9) * ( f(12) - f(9) )
= ( f(12) - f(9) ) / (12 - 9)
Dabei haben wir verwendet, dass f eine Stammfunktion von f' ist (denn f abgeleitet ergibt ja logischerweise f'). Damit konnten wir das Integral leicht ausrechnen.
Interpretation: Nun, was steht da? Wir muessen zuerst berechnen, um wie viel sich die Temperatur selbst geaendert hat, naemlich um f(12) - f(9) = 4.26 °C (rechne nach!). Danach sollen wir durch die vergangene Zeit teilen, naemlich 12 - 9 = 3 Stunden.
Die Temperatur ist also innerhalb von 3 Stunden um 4.26 °C gestiegen, d.h. im Mittel um 1,42 °C pro Stunde! Zu manchen Zeitpunkten stieg die Temperatur schneller, zu anderen langsamer, aber im Mittel stieg sie eben um 1,42 °C pro Stunde - denn sonst waere man ja nicht auf die 4.26 °C Temperaturunterschied gekommen!
So kannst Du auch fuer die anderen Zeitraeume vorgehen.