Mathematik- Wachstums und Zerfallsprozesse?
Hallo, ich muss für eine Mathematik Prüfung lernen und komme bei dieser Aufgabe wirklich nicht weiter und bitte um eine einfache Erklärung, da ich mir in Mathe sehr schwer tue:):
Der Luftdruck auf Meeresniveau beträgt im Mittel 1013 hPa und nimmt anfangs alle 80 m um 10 hPa ab. In 5545 m Höhe ist er nur mehr halb so groß. Erstelle ein lineares und ein exponentielles Modell. a) bis zu welcher Höhe unterscheiden sich die Modelle um weniger als 2 hPa? b) Berechne in beiden Modellen den mittleren Luftdruck am Großglockner (3797 m) und am Mount Everest (8448 m) c) In welcher Höhe ist laut linearem Modell der Luftdruck 0? Wie hängt dieser WErt mit dem Kehrwert von lambda d zusammen?
Ich habe natürlich schon grundwissen, wie man exponentielle und lineare gleichungen bildet, jedoch kenne ich mich mit diesem kontext gar nicht mehr aus... bitte erklärung und berechnung :)
1 Antwort
Hallo,
die Grundform einer linearen Funktion lautet:
y=mx+b, wobei m die Steigung der Geraden in bezug auf die x-Achse ist und b der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
b kannst Du hier direkt bestimmen, das ist nämlich der Luftdruck auf Meereshöhe. Hier hats Du einen Druck von 1013 hPa.
y=mx+1013
Nun ist nur noch die Steigung zu bestimmen. Sie ist der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse und damit das Verhältnis zwischen der Differenz der y-Koordinaten zweier Punkte auf dieser Geraden und der Differenz der x-Koordinaten derselben beiden Punkte.
Ein Punkt ist z.B. (0|1013) EInen zweiten bestimmen wir mit Hilfe des Wissens, daß der Druck pro 80 Höhenmeter um 10 hPa abnimmt.
Die Differenz zu (0|1013) und damit die Steigung beträgt also -10/80=-1/8.
Die Geradengleichung lautet also y=(-1/8)x+1013
Diese Funktion wird allerdings in größeren Höhen gegenüber den tatsächlichen Werten immer stärker abweichen, weil die tatsächlichen Meßwerte nicht auf einer Geraden liegen. Der Luftdruck nimmt eben nicht in jeder Höhe in gleichem Maße ab (sonst wärst Du irgendwann bei einem negativen Luftdruck), sondern nähert sich in einer flacher werdenden Kurve der x-Achse an, die niemals geschnitten wird. (Leerer als Vakuum geht nicht).
Eine bessere Näherung an die wirklichen Verhältnisse bietet eine Exponentialfunktion der Form y=a*e^(kx), wobei x hier die Höhe in Meter ist, a der Druck auf Meeresniveau und k ein noch zu bestimmender Faktor ist.
e ist die Eulersche Zahl, die Basis des natürlichen Logarithmus.
Da die Höhe gegeben ist, in der der Druck nur noch die Hälfte des Meeresniveaus hat, kannst Du die Gleichung einfacher gestalten, indem Du a=1 setzt:
e^(kx)=0,5
So etwas löst Du auf, indem Du beide Seiten logarithmierst.
Da ln(e^x)=x ist und ln(e^(kx)) entsprechend kx, hast Du den Logarithmus nur noch auf der rechten Seite der Gleichung:
kx=ln(0,5)
k=ln(0,5)/x
x ist hier die Höhe, in der nur noch der halbe Luftdruck herrscht, Du setzt für x also 5545 m ein:
k=ln(0,5)/5545=-0,000125004
Nun hast Du alles, um die Exponentialfunktion zu bestimmen:
f(x)=1013*e^(-0,0000125004x)
Nun einfach die gewünschten Höhen für x einsetzen und die entsprechenden Werte berechnen.
Die Unterschiede zur linearen Funktion bekommst Du, wenn Du dieselben Werte auch in die Geradengleichung einsetzt.
So siehst Du auch, ab welcher Höhe beide Werte stark auseinanderdriften.
Am einfachsten ist es, wenn Du (vielleicht auch mit Hilfe eines Tabellenprogramms) Wertetabellen für beide Funktionen erstellst und miteinander vergleichst.
Suchst Du die Höhe zu einem gegebenen Luftdruck, setzt Du den Druck für f(x) bzw. für y ein und löst nach x auf.
Herzliche Grüße,
Willy