Mathefrage: quadratische Funktion - Parabel
Wir hatten am FReitag in Mathe folgende Aufgabe: Der Wasserstrahl hat die Form einer Parabel. Der Strahl trifft 5m von Kerstins Fuß entfernt auf den Boden auf. Wie hoch hält Kerstin das Schlauchende? Dabei war ein Bild: Das Mädchen hält einen Schlauch in der Hand, der Wasserstrahl beginnt an ihrer Hand und endet fünf Meter von ihren Füßen entfernt auf dem Boden. nach zwei metern hat sich der strahl um 20cm gesenkt. da ich an dem tag nicht in der schule war hab ich nicht mal einen lösungsanstz. hilfe!!
3 Antworten
Wenn du y =ax²+b annimmst, dann hast du:
0 = a * 5² +b = 25a+b
und
h = a * 0² +b = b
und
h-0,2 = a * 2²+b
Daraus bekommst du:
h = b
25a+h = 0
h-0,2 = 4a+h.........I -h
-0,2 = 4a
a = -0,05
h = -25a = -25 * (-0,05) = 1,25
Alles in Metern. Also wäre die Höhe, auf der sie den Schlauch hält bei 1,25 m. Kommt hin bei einem Menschen...Das wäre die einzige sinnvolle Lösung, die ich bekomme..
Okay, jetzt hab ich die ultimative Lösung, die mich einigermaßen zufriedenstellt:
Ich habe zusätzlich noch angenommen, dass bei dem Mädel, also am Start bei x = 0 der Hochpunkt der Parabel liegt. Daher ist dort die 1. Ableitung =0. Daraus ergibt sich b = 0 und damit bleibt nur noch ax²+c und dann kann man die Rechnung so machen, wie ich es eben gemacht hab. Lösung also: 1,25 m.
Wenn du das genauer aufgeschrieben haben willst, sag Bescheid. Sind nur ein paar Zeilen..
Das Problem ist, dass du 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten hast. Das geht nicht. Du legst den Nullpunkt des Koordinatensystems in ihre Füße. Dann ist der eine Punkt bei (5/0), denn da ist er 5 Meter von den Füßen entfernt in x-Richtung und 0 nach oben in y-Richtung, da es ja genau der Boden ist, auf dem sie steht. Der zweite Punkt, den du kennst, ist (2/ h-0,2), denn da hat er sich um 20cm gesenkt und ist 2 Meter in x-Richtung entfernt. Gesucht ist der Punkt (0/h). h ist die Höhe, auf der sie den Schlauch hält.
Die allgemeine Form einer Parabel ist: f(x) = ax²+bx+c. Wir suchen also a, b und c.
Wir können also die Punkte einsetzen:
0 = a * 5² + b * 5 + c (I)
h-0,2 = a * 2² + b * 2 + c (II)
h = a * 0² + b * 0 + c (III)
Aus (III) wissen wir also, dass c = h, denn h = 0 + 0 + c = c.
Aus (I) : 0 = 25a+5b+c = 25a+5b+h (weil c=h) (IV)
Aus (II): h-0,2 = 4a+2b+c = 4a+2b+h.............I -h
-0,2 = 4a+2b.............I-2b
-0,2-2b = 4a.......I :4
-0,05-0,5b = a. Das setzen wir in (IV) ein:
0 = 25a+5b+h = 25 * (-0,05-0,5b) + 5b + h
0 = -1,25-12,5b+5b+h
0 = -1,25-7,5b+h
h = 1,25+7,5b
Und weiter kommen wir ohne weitere Angabe nicht. Oder soll eure Parabel nur x²+bx+c sein, also ohne a?
Dann wäre es: f(x) = x²+bx+c
0 = 25+5b+c
h-0,2 = 4+2b+c
h = 0+0b+c
Damit hätten wir c = h
Aus der zweiten: h-0,2 = 4+2b+c = 4+2b+h
-0,2 = 4+2b...........I -4
-4,2 = 2b ............I :2
-2,1 = b
und mit der ersten:
0 = 25+5b+c = 25 + 5 * (-2,1) + h
0 = 14,5 + h
-14,5 = h
Das wäre eher schlecht...
Oder hat er sich nicht um 20 cm gesenkt sondern auf 20 cm? Oder ich hab mich verrechnet...
ich hab nochmal nachgelesen. der strahl hat sich UM 20cm gesenkt. und die formel müsste theoretisch y = ax² sein, da wir die andere noch nicht hatten. aber danke schonmal für die mühe
Denn wenn du y = ax² annimmst und den Punkt (5/0) einsetzt, wo der Strahl den Boden trifft, dann hast du:
0 = a * 5² = 25a
Daraus folgt: a = 0 und damit y = 0 und das ist quatsch, denn dann ist es keine Parabel sondern eine lineare Funktion, genau die x-Achse nämlich...
Wenn du die anderen Punkte einsetzt:
h = a * 0²
Folgt: h = 0
Und:
h-0,2 = a * 2²
h-0,2 = 4a
h = 4a+0,2
Dann brauchen wir noch einen der beiden anderen Punkte, um es eindeutig zu bestimmen, also entweder a = 0, dann h = 0,2 (das geht aber gar nicht, da y = 0 überhaupt nicht durch (0/0,2) verläuft...:/) oder h = 0, dann a = -0,05, aber dann geht die nicht durch (5/0)...
Alles in eine Gleichung geht aber nicht mit y = x²...
Würde dann so aussehen:
http://postimage.org/image/2r71cki6c/