Matheaufgabe - Maximales Volumen bei offenem Zylinder?
Es geht um Aufgabe c. Ich verstehe nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann.
1 Antwort
Das Volumen eines Zylinders ist allgemein V = pi * r² * h. Die 15 cm Seite wird auf den Boden gestellt und bildet den Mantel.
Kritisch darfst du fragen, warum gerade diese Seite und nicht die andere? Ich denke man müsste beide Fälle überprüfen.
Die Höhe des Zylinders ist das Reststück, das übrig bleibt. In der Grafik ist es
h = 20 - 2r
Jetzt die Extremalbedingung:
V = pi * r² * h
max V(r) = pi * r² * (20 - 2r)
Das lokale Maximum dieser Funktion wäre bei r = 6,67 cm
h = 20 - 2r = 20 - 2 * 6,67 cm = 6,67 cm OK.
Umfang der Dose: U = 2 pi * r = 41,84 cm. Nicht Ok, passt nicht auf das Blech.
Also Nebenbedingung, damit es auf das Blech passt:
U = 2 pi * r <= 15 cm ...........Teilen durch 2 pi
r <= 2,387
Das Volumen ist dann:
V(r = 2,387) = pi * r² * (20 - 2r) = 272,55 cm³
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Nun könnte man jedoch auch die 15 cm Seite als die Höhe verwenden und die andere Seite steht dann auf der Dose.
V = pi * r² * h
mit h = 15 cm
Nebenbedingung. Das Reststück nach Ausschneiden des Kreises soll so groß sein, dass es den Kreis umrunden kann. Bleibt etwas über, wäre das Materialverschwendung und eher nicht optimal.
20 - 2r = U
20 - 2r = 2 * pi * r
20 = 2 * pi * r + 2r
20 = r * (2 * pi + 2)
r= 2,41 cm
Das Volumen ergibt sich hier zu:
V(r = 2,41) = pi * r² * 15 = 274,73 cm³