Mathe Aufgabe mit Bestimmung größter und kleinster werte?
Die Nummer 3 ich sitze jetzt schon längere Zeit an der Aufgabe komme nicht weiter 1weiß jemand wie es funktioniert schon mal danke im vorraus
2 Antworten
Hallo simi987ss
Wenn der Querschnitt der Dachrinne U-förmig sein soll, dann beseht er aus einem nach oben offenen Halbkreis und rechts und links aufgesetztenn senkrechten Flächen, die einen rechteckförmigen Raum seitlich begrenzen. Der Radius des Halbkreises sei r, die Länge der aufgesetzten Seiten sei je s.
Die Querschnittsfläche ist dann A = s*2r + (1/2)r²*pi. Diese soll ein Maximum annehmen. Außerdem gilt aber noch: 2s + r*pi = 25cm. Hieraus kann man s ausdrücken, nämlich s = (1/2)*(25cm - r*pi), und in die Gleichung für A einsetzen:
A(r) = 2r*(1/2)*(25cm - r*pi) + (1/2)*r²*pi = r*25cm - r²*pi + (1/2)*r²*pi = -(1/2)r²*pi + r*25cm; ---> 1. Ableitung: A'(r) = -r*pi + 25cm; ---> 2. Ableitung: A''(r) = -pi <0
Den Extremwert von A erhält man aus A' = 0, nämlich r = 25cm/pi. Da die zweite Ableitung hier negativ ist, liegt, wie gewünscht, mit r = 25cm/pi ein Maximum vor. Der zughörige Wert von s ist s = (1/2)*(25cm - 25cm) = 0. Das heißt: Man erhält die größte Querschnittsfläche, wenn man die ganzen 25 cm für den Halbkreis verwendet, so dass aus dem U ein Halbkreis wird. Dessen optimale Querschnittsfläche ist dann Aopt = (1/2)*r²*pi = (1/2)*(25cm/pi)²*pi = (1/2)*625cm²/pi = 99,5 cm².
Bitte kritisch überprüfen und nachrechnen, es könnten sich Fehler eingeschlichen haben.
Es grüßt HEWKLDOe.
Die Länge spielt keine Rolle
Der Querschnitt (A) der Rinne ist Breite (B) mal Höhe (H)
Der Umfang der oben offenen Rinne (25cm) ist Breite plus zwei mal Höhe
25cm = 2 • H + B >> B = 25cm - 2 • H
A = B • H = (25cm - 2 • H) • H = 25cm • H - 2 • H²
Extremwerte: A' = 0 = 25cm - 4 • H
H = 25cm / 4
B = 25cm / 2