Mathe Aufgababe Kegel?
Kann mir jemand erklären wie ich diese Aufgabe lösen kann
1 Antwort
a) Bestimmung des prozentualen Anteils der Bodenfläche, die vom Strahler erfasst wird:
Der Lichtkegel auf dem Boden hat einen Radius, der durch die Länge und Breite des Raums bestimmt wird. Der Radius r des Lichtkegels auf dem Boden beträgt die Hälfte der Diagonale des Rechtecks, also r = √(länge^2 + breite^2) / 2.
r = √(3,50 m)^2 + (4,30 m)^2 / 2
r = √(12,25 m^2 + 18,49 m^2) / 2
r = √30,74 m^2 / 2
r ≈ √15,37 m^2
r ≈ 3,92 m
Der prozentuale Anteil der Bodenfläche, die vom Strahler erfasst wird, entspricht dem Verhältnis der Fläche des Lichtkegels zum Bodenbereich des Raums. Die Fläche des Lichtkegels auf dem Boden beträgt π * r^2.
Fläche des Lichtkegels auf dem Boden = π * (3,92 m)^2
Fläche des Lichtkegels auf dem Boden ≈ 48,25 m^2
Der Bodenbereich des Raums beträgt länge * breite.
Bodenbereich = 3,50 m * 4,30 m
Bodenbereich = 15,05 m^2
Der prozentuale Anteil der Bodenfläche, die vom Strahler erfasst wird, beträgt:
% erfasste Bodenfläche = (Fläche des Lichtkegels auf dem Boden / Bodenbereich) * 100
% erfasste Bodenfläche = (48,25 m^2 / 15,05 m^2) * 100
% erfasste Bodenfläche ≈ 320,66 %
b) Bestimmung des prozentualen Anteils des Raumes, der vom Lichtkegel eingenommen wird:
Der Lichtkegel im Raum hat eine Höhe von 2,80 m und einen Radius von 3,92 m (wie oben berechnet). Die Fläche des Lichtkegels im Raum ergibt sich aus dem Volumen des Kegels.
Volumen des Lichtkegels im Raum = (1/3) * π * r^2 * h
Volumen des Lichtkegels im Raum = (1/3) * π * (3,92 m)^2 * 2,80 m
Volumen des Lichtkegels im Raum ≈ 46,87 m^3
Der Gesamtraum des Raums beträgt Länge * Breite * Höhe.
Raumvolumen = 3,50 m * 4,30 m * 2,80 m
Raumvolumen ≈ 43,54 m^3
Der prozentuale Anteil des Raumes, der vom Lichtkegel eingenommen wird, beträgt:
% eingenommener Raum = (Volumen des Lichtkegels im Raum / Raumvolumen) * 100
% eingenommener Raum = (46,87 m^3 / 43,54 m^3) * 100
% eingenommener Raum ≈ 107,63 %
c) Der minimale Öffnungswinkel ß kann mit trigonometrischen Beziehungen berechnet werden.
Der Radius des Lichtkegels auf dem Boden ist die Hälfte der Diagonale des Raums, also r = √(länge^2 + breite^2) / 2.
r = √(3,50 m)^2 + (4,30 m)^2 / 2
r = √(12,25 m^2 + 18,49 m^2) / 2
r = √30,74 m^2 / 2
r ≈ √15,37 m^2
r ≈ 3,92 m
Der minimale Öffnungswinkel ß kann mit Tangens berechnet werden:
tan(ß/2) = r / (h/2)
tan(ß/2) = 3,92 m / (2,80 m / 2)
tan(ß/2) = 3,92 m / 1,40 m
tan(ß/2) ≈ 2,80
Um den Winkel ß zu berechnen, können wir den Arkustangens verwenden:
ß = 2 * arctan(2,80)
ß ≈ 2 * 71,57°
ß ≈ 143,14°
Der minimale Öffnungswinkel ß, damit der gesamte Boden ausgeleuchtet werden kann, beträgt etwa 143,14 Grad.
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