Linearkombination von 3 Vektoren?

Ich hab hier noch eine Aufgabe zur Linearkombination gefunden:

Prüve ob der Vektor v = (5,3,2,1) eine Linearkombination von a = (1,0,2,0), b = (3,-1,1,1) und c = (1,4,0,-2) sind.

Wie muss ich in dem Fall vorgehen? Ich könnte mir vorstellen, ein LGS mit abc = v aufzustellen, aber wie würde die Aufgabe komplett aussehen? Mit Lösung wäre wie immer Nett, damit ich das nachvollziehen kann und ein richtigs Ergebnis habe^^

Answer 1

[Zwieferl]

Eine Linearkombination dieser Vektoren sieht so aus:
v=k·a+l·b+m·c

In einzelne Zeilen notiert:
I:  5=k+3l+m
II: 3=    -l+4m
III: 2=2k+l
IV: 1=    l-2m

Dieses Gleichungssystem lösen → wenn es eine Lösung gibt, dann ist v eine Linearkombination von a,b und c.

Da ich mit Matrizen und höherdimensionalen Vektoren nicht soviel am Hut habe, bin ich nicht 100%ig sicher, dass es so funktioniert.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – langjährige Nachhilfe

Answer 2

[HTGDV]

Die drei gegebenen Vektoren mit jeweils einer noch unbekannten Variablen addieren und mit dem Vektor gleich setzen und dann schauen, ob du eine Lösung für die Variablen findest:

m*a+n*b+x*c=v

und m,n,x mit nem LGS versuchen zu finden

Answer 3

[GENJH]

mit den gegebenen ortsvektoren der 3 punke eine ebene austellen. dann prüfen ob der punkt auf der ebene liegt.