Linearkombination von 3 Vektoren?
Ich hab hier noch eine Aufgabe zur Linearkombination gefunden:
Prüve ob der Vektor v = (5,3,2,1) eine Linearkombination von a = (1,0,2,0), b = (3,-1,1,1) und c = (1,4,0,-2) sind.
Wie muss ich in dem Fall vorgehen? Ich könnte mir vorstellen, ein LGS mit abc = v aufzustellen, aber wie würde die Aufgabe komplett aussehen? Mit Lösung wäre wie immer Nett, damit ich das nachvollziehen kann und ein richtigs Ergebnis habe^^
3 Antworten
Eine Linearkombination dieser Vektoren sieht so aus:
v=k·a+l·b+m·c
In einzelne Zeilen notiert:
I: 5=k+3l+m
II: 3= -l+4m
III: 2=2k+l
IV: 1= l-2m
Dieses Gleichungssystem lösen → wenn es eine Lösung gibt, dann ist v eine Linearkombination von a,b und c.
Da ich mit Matrizen und höherdimensionalen Vektoren nicht soviel am Hut habe, bin ich nicht 100%ig sicher, dass es so funktioniert.
Die drei gegebenen Vektoren mit jeweils einer noch unbekannten Variablen addieren und mit dem Vektor gleich setzen und dann schauen, ob du eine Lösung für die Variablen findest:
m*a+n*b+x*c=v
und m,n,x mit nem LGS versuchen zu finden
mit den gegebenen ortsvektoren der 3 punke eine ebene austellen. dann prüfen ob der punkt auf der ebene liegt.