Kurvendiskussion?
Kann jemand mir hierbei helfen? Ich bräuchte lösungen mit erklärung dazu nweil ich nichts davon verstanden habe. Vielen dank🙏
1 Antwort
Hallo hannahyvz,
'x' steht für eine Variable, d.h. eine veränderliche Größe. Im alltäglichen Leben kann das z.B. die Zeit in Sekunden vor (negativ) oder nach (positiv) einem willkürlich wählbaren Zeitnullpunkt sein.
Wenn Du z.B. mit dem Fahrrad mit v = 5 m⁄s zwischen 13:40 und 14:00 einen Weg entlang und an einer Uhr vorbeifährst, die gerade auf 13:45 springt, kannst Du das als Zeitnullpunkt wählen; Dein Startzeitpunkt ist damit x = −300.
Alle möglichen Werte von x bilden den Definitionsbereich; in unserem Beispiel wäre das das Intervall zwischen −300 und +900.
Mit 'f(x)', oft schreibt man auch 'y', ist eine andere Variable gemeint, die von x abhängt. Wichtig dabei ist, dass es für jeden x- Wert aus dem Definitionsbereich genau einen f(x)- Wert gibt. Man sagt auch: "Jedem x- Wert ist genau ein f(x)- Wert zugeordnet." Nur dann heißt f(x) tatsächlich eine Funktion.
In unserem Beispiel mag das Deine Position entlang des Weges in Metern sein. Das ist automatisch eine Funktion, da Du nicht an zwei Orten gleichzeitig sein kannst. Wenn wir die Position der Uhr als Nullpunkt wählen, startest Du offensichtlich bei f(x) = −1500, und Dein Ziel ist bei f(x) = 4500.
Der Graph einer Funktion ist ihre anschauliche Darstellung als Kurve (daher "Kurvendiskussion"), die durch ein Achsenkreuz verläuft, das x üblicherweise auf der horizontalen und f(x) auf der vertikalen Achse darstellt. In unserem Beispiel ist der Graph eine Gerade mit Steigung v/(m⁄s), die durch den Ursprung (Schnittpunkt der Achsen) verläuft.
In der Mathematik, speziell der Kurvendiskussion, lässt sich für x normalerweise jede reelle Zahl einsetzen, und f(x) ist dann auch eine reelle Zahl.
Der Funktionswert f(x=0) (falls er existiert) wird y- Achsenabschnitt bezeichnet. Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt (0; f(0)). Die x- Werte, für die f(x) = 0 ist oder anschaulich gesprochen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt, heißen Nullstellen von f(x).
Mit Symmetrie ist gemeint, ob der Graph spiegelsymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keines von beidem ist.
Mit dem Verhalten der Funktion im Unendlichen ist die Frage gemeint, was passiert, wenn man x gegen ∞ oder gegen −∞ gehen lässt.
Ein Extrempunkt ist ein lokales Minimum oder Maximum, d.h. ein x- Wert, wo f(x) den kleinsten oder größten Wert der unmittelbaren Umgebung des x- Wertes annimmt. Der Graph hat an der Stelle meist eine Beule oder Delle. Um sie rechnerisch zu finden, muss man die sog. Ableitung bilden. Das ist eine Funktion f'(x), die für jeden x- Wert die Steigung von f(x) angibt. Extremstellen von f(x) sind immer Nullstellen von f'(x).
Eine Wendestelle ist ein x- Wert, wo der Graph als Kurve seine Krümmungsrichtung ändert, z.B. aus einer Rechts- eine Linkskurve wird. Man findet sie, indem man die Extremstellen von f'(x) ermittelt. Die sind zugleich Nullstellen der Ableitung von f'(x), die als f"(x) bezeichnet wird.
Für die Funktion aus Deiner Aufgabe,
f(x) = x⁴ – 5x² + 4,
ist
f'(x) = 4x³ – 10x
und
f"(x) = 12x² – 10,
und Definitionsbereich ist die ganze Menge der Reellen Zahlen.