Komplexe Zahlen Ungleichung. Menge skizzieren?
Hallo. Ich habe ein Problem mit der Ungleichung |2z+i-4|<3. Diese Menge an z soll auf einer komplexen Ebene skizziert werden. Wie finde ich nun diese Zahlen, beziehungsweise wie Stelle ich sie dar?
1 Antwort
Schreibe z = a + bi für reelle Zahlen a und b. Dann lautet die Ungleichung
|(2a - 4) + (2b + 1)i| < 3. Setze nun die Definition des Betrags ein (und quadriere die Ungleichung bei der Gelegenheit):
(2a - 4)² + (2b + 1)² < 9.
Sagt dir diese Art von Ungleichung etwas?
Es ist weniger etwas, das du konkret lösen musst, als etwas das du "sehen" bzw kennen musst. Eine Gleichung der Form
(a - p)² + (b - q)² = r² ist die Gleichung für einen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M(p|q).
Die zugehörige Ungleichung (a - p)² + (b - q)² < r² beschreibt gewissermaßen die "Fläche" dieses Kreises (genauer gesagt die Menge aller Punkte, die innerhalb des Kreises liegen).
Zugegebenermaßen sieht die Ungleichung, die ich dir oben hinterlassen habe, etwas anders aus. Aber vielleicht fällt dir eine Möglichkeit ein, sie auf die richtige Form zu bringen ;)
Aaaah. Ich glaub ich hab's. Die zwei ausklammern, also 2*2 bei beiden Faktoren. Dann durch 4 teilen. Ergibt 9/4 als r^2. Dann steht da
(A-4)^2 + (b+1)^2 < 9/4
Liegt der Mittelpunkt also bei 4/(-1)?
Richtiger Ansatz! Allerdings hast du beim Ausklammern einen Fehler gemacht: Du musst die 2 natürlich aus allen Summanden ausklammern.
Z.B.: (2a - 4)² = (2(a - 2))² = 4(a - 2)².
Hmm also wäre da nur eine Variable drin könnte ich es lösen, aber bei zwein bin ich ratlos. Mir würde nur noch die binomische Formel einfallen, aber damit löse ich das ganze leider auch nicht :/