Könnten Sie mir bitte bei dieser aufgabe helfen?
4 Antworten
Arbeite mit den Definitionen aus der Aufgabenstellung. Hier muss man etwas kreativ sein, verschiedene Dinge ausprobieren und so weiter.. Das ist oft so bei Beweisen. Oft sitzt man minutenlang davor und weiß gar nicht, wie man loslegen soll. Aber wenn man dann die richtige Idee hat, klappt es. Dieser Beweis dürfte ganz "straight forward" gehen, indem man sich an den Definitionen entlang-hangelt.
Vielleicht hilft es dir auch, wenn du die Aussagen erstmal nur für zwei Mengen A_1 und A_2 betrachtest, anstatt für unendlich viele. Vielleicht hilft dir in diesem Fall auch ein Venn-Diagramm?
Das Standardverfahren für den Beweis von Mengengleichheiten: Zeige zwei Inklusionen. Versuche formal, die Aussage
mittels Definition der Vereinigung elementarer zu formulieren. Mache dasselbe für die Aussage
mittels Definition des Schnitts und überlege dir dann, wie du aus der ersten die zweite Aussage (das ist dann die erste Inklusion) und wie du aus der zweiten die erste Aussage folgern kannst (das ist die zweite Inklusion).
Die rechte De Morgan‘sche Formel kann man entweder genauso zeigen oder direkt aus der linken bewiesenen folgern.
Bei den Formeln sollte man auf beiden Seiten nochmal das Komplement bilden, dann ist der Beweis leichter zu sehen. So wie das dasteht ist das künstlich verkompliziert.
Ich zeige dir einen Teil. Der Einfachheit sei hier X = Ω. Es ist:
x in X\(∪{A_i | i in I})
<=> x in X und x nicht in A_i für alle i in I
<=> x in X\A_i für alle i in I
<=> x in ∩{X\A_i | i in I}.
Damit hast du
X\∪{A_i | i in I} = ∩{X\A_i | i in I}.
Damit folgt dann schnell:
x in ∪{A_i | i in I}
<=> x in X und x nicht in X\(∪{A_i | i in I})
<=> x in X und x nicht in ∩{X\A_i | i in I}
<=> x in X\(∩{X\A_i | i in I}).