Herleitung der Cramerschen Regel

3 Antworten

Für 2x2 ganz easy, bei 3x3 wird es kniffliger. Ich hoffe ich kann nach 5 Jahren noch interessierten helfen.

Der Lösungsansatz besteht darin ein allgemeines 2x2 LGS mit dem Additionsverfahren aufzulösen.

Also:

l k1*x+k2*y=h

ll k3*x+k4*y=u

1.) l * k3

2.) ll *  -k1

3.) ll´ + l´ oder l´ + ll´

Dadurch ergibt sich:

k3*k2*y-k1*k4*y=k3*h-k1*u

y*(k3*k2-k1*k4)=k3*h-k1*u

y=(k3*h-k1*u)/(k3*k2-k1*k4)

Rechnerisch umdrehen: (a-b)/(c-d)=(b-a)/(d-c); a*b=b*a

y=((k1*u-k3*h)/(k1*k4-k3*k2))

Wenn man nach x auflösen würde, kommt das heraus:

x=((k4*h-k1*u)/(k1*k4-k3*k2))

Es fällt das das der Nenner in beiden Fällen gleich ist.

Betrachtet man die Koeffizientenmatrix:

(k1 k2)

(k3 k4)

So sieht man das das Kreuzprodukt dieser Matrix gleich der Nenner ist.

Sprich: links oben mal recht unten minus links unten mal rechts oben

Das bezeichnen wir ab sofort als Determinante. Wir schreiben entweder:

lk1 k2l

lk3 k4l

= k1*k4-k3*k2

oder:

 dt (k1 k2)

     (k3 k4)

= k1*k4-k3*k2

Somit wäre die Determinante eingeführt.

Doch funktioniert das auch mit den Zähler?

Es fällt auf, wenn man Dx raus bekomme will, man lediglich die Spalte in der sich x befindet den "Lösungsspaltenvektor" einsetzt und das gleiche wie vorhin macht.

Dx = lh k2l

         lu k4l

= h*k4-u*k2

So ebenfalls für Dy:

Dy = lk1 hl

         lk3 ul

= k1*u-k3*h

Somit kann man allgemein schreiben:

x=Dx/D

y=Dy/D

Damit wäre die Determinante eingeführt, so wie die Cramersche Regel hergeleitet.

Für einen Beweis Buchstaben verwenden und x, sowie y nach der Cramerschen Regel definieren und in das LGS einsetzen und schauen ob h und u herauskommen.

Für 3x3 kannst Du es mal selbst ausprobieren, dabei ist Konzentration erfordert, werden viele Buchstaben.

Ist echt schwer!Hab soeben bei Wiki nachgeschaut,dort steht einiges über die Cramersche Regel.Ich glaube,das kann Dir hier keiner mit paar Worten erklären.

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