Gebrochen Rationale Funktion und ihre Asymptoten?
Meine Frage wäre, ob es möglich ist, dass eine gebrochen rationale Funktion sowohl eine schiefe Asymptote als auch eine waagerechte Asymptote besitzt? Wenn nein, wieso ist das nicht möglich? Danke schon einmal im vorraus für eure Antworten
3 Antworten
Ich rede jetzt nur von gebrochen rationalen Funktionen "in Reinkultur",, d.h. in Zähler und Nenner stehen stehen Polynome, keine Beträge, Wurzeln, sign ...
Senkrechte Asympoten können ja nur bei Definitonslücken zustande kommen, also in singulären Stellen.
Waagerechte/Schräge Asymptoten (ich nenne sie mal a) dagegen sind lineare Funktionen, an deren Graph sich der Graph der Originalfunktion f für betragsmäßig große x-Wert annähert.
Sie werden bestimmt, indem man mittels einer Polynomdivision den Funktionsterm von f aufspaltet in einen ganzrationalen Teil g und einen gebrochenen Teil r (für Rest), bei dem der Zählergrad garantiert kleiner ist als der Nennergrad. Daher konvergiert r für x -> +- unendlich auch gegen 0. [r gibt quasi den Abstand von f zu a an. Deshalb wird der Abstand für große x-Werte zwischen f und a auch immer kleiner: der Graph von f nähert sich dem Graphen von a an.]
Da a per definitionem eine lineare Funktion ist, gilt: a(x) = mx+b. Der Wert von m bestimmt die Steigung der Asymptoten. Daher kann es nur so sein, dass entweder eine waagerechte Asymptote vorliegt (nämlich wenn m = 0) oder eine schräge (nämlich für m <> 0). Beides gleichzeitig geht nicht.
War das verständlich?
Die Grundform der gebrochenen, die Hyperbel, hat ja die 2 Koordinatenachsen als Asymptoten. Sicherlich gibt es demnach eine gebrochene Funktion, bei der die waagerechte oder senkrechte bleibt und die andere Asymptode im Winkel verläuft.
glaube schiefe und waagrechte Asymp. gibt es nicht.
Hast du ein Beispiel?