Funktionsterm in Scheitelpunktform umformen ich brauche Hilfe:((?
Ich muss in Mathe einen Funktionsterm in eine Scheitelpunktform umformen f(x)=a(x-d)^2+e Wie macht man dass bei z.b der Gleichung : f(x)= -3x^2-6x+9?? Brauche echt Hilfe wäre nett wenn mir jemand genau Schritt für schritt erklärt wie das Funktioniert:)
3 Antworten
f(x)= -3x² - 6x + 9
f(x)= -3 · (x² + 2x - 3)
f(x)= -3 · (x² + 2x + 1 - 1 - 3)
f(x)= -3 · (x² + 2x + 1 - 4)
f(x)= -3 · (x² + 2x + 1) + 12
f(x)= -3 · (x + 1)² + 12
Hi :)
Schnelle Rechnung:
f(x) = -3x² -6x +9
= -3(x² +2x) +9
= -3(x² +2x +1 -1) +9
= -3(x+1)² +3 +9
= -3(x+1)² +12
Hab mal eben im Funktionsplotter nachgeprüft, stimmt so :)
Jetzt eine sehr ausführliche Erklärung an einem anderen Beispiel.
f(x)= x²+3x+4
Erstmal erklär ich dir nochmal die binomischen Formeln an sich, da du sie - wie du bereits gemerkt hast - beim Umformen in die Scheitelpunktsform benötigst. Es gibt drei binomische Formeln:
- (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
- (a-b)² =(a-b)(a-b)= a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
- (a+b)(a-b) = a²+ab-ab-b² = a²-b²
- Hier mal ein hilfreiches Video dazu: https://www.youtube.com/watch?v=EYbvhWEG6kE
Bei den quadratischen Funktionen hast du bereits a²+2ab. Der Term am Ende, also b², muss ergänzt werden. Näheres in der "Step-by-step" -Erklärung des Umformens :-)
- "Problem": Du möchtest die Form f(x)= ax²+bx+c in die Form f(x)= a(x-xs)²+ys- also die Scheitelpunktsform - bringen.
- Funktion: f(x)= x²+3x+4
- Du musst erstmal die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren,falls die Gleichung nicht in Normalform gegeben ist. Du hast aber eine Gleichung in Normalform gegeben, somit ist dieser Schritt nicht mehr nötig.
- Nun musst du den Term ohne x ausklammern.
- Anschließend sieht man, dass du ja in der Klammer bereits (a²+2ab) hast. Um nun den Term b² zu ergänzen, einfach die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren.
- Da du ja nicht einfach so etwas dazu fügen darfst, musst du das addierte Quadrat subtrahieren (erklär ich später näher).
- Jetzt kannst du die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen. Achtung: Es kommt nie eine dritte binomische Formel vor!
- Nun die Terme ohne x zusammenfassen.
- Fertig :-)
Nochmal die dick markierten Schritte:
- die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren
- Term ohne x ausklammern
- die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren
- das addierte Quadrat subtrahieren
- die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen
- die Terme ohne x zusammenfassen
Beispiel an der Gleichung
- Gegebene Funktion: f(x) = x²+3x+4
- Term ohne x ausklammern: f(x)= (x²+3x)+4
- Die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und zusammenfassen: f(x)= (x²+3x+2,25)+4
- Das addierte Quadrat subtrahieren: f(x)= (x²+3x+2,25)-2,25+4
- Die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen: f(x)=(x+1,5)²-2,25+4
- Terme ohne x zusammenfassen: f(x)= (x+1,5)²+1,75
- Scheitelpunktsform: f(x)= (x+1,5)² +1,75
Ich erkläre dir nochmal Schritt 3 und 4 näher.
- Du hast ja in der Klammer die Form a²+2ab vorliegen. Dabei ist das a immer x, wenn du eine Umformung in Scheitelpunktsform vornimmst.
- Wenn du dir jetzt den Term 2ab anschaust - der ist hier von großer Wichtigkeit - muss dir auffallen, dass die Zahl, die vor dem einfachen x steht,2b ist (das x ist ja schon a). Wenn du nun 2b durch 2 teilst, erhältst du ja b- genau Dies musst du hier auch tun, um b zu erhalten.
- Um nun b² zu erhalten, musst du einfach die Zahl, die du für b erhalten hast, quadrieren (also mit sich selbst mal nehmen). Dieses Quadrat addierst du einfach zu a²+2ab und fertig ist die binomische Formel.
- Aber: Du darfst ja bei einer Äquivalenzumformung nicht einfach etwas dazu nehmen!
- Jetzt kommt da die Subtraktion ins Spiel: Das b², was du eben hinzugefügt hast, musst du (außerhalb der Klammer!) wieder abziehen, wie in Schritt 4 gezeigt.
- Nun formst du einfach, wie in den restlichen Schritten gezeigt, weiter um.
- Mit der Scheitelpunktsform, die du nun erhalten hast, kannst du den Scheitelpunkt ermitteln:
- Da du weißt, dass die Scheiteplunktsform f(x)= (x-xs)²+ys bzw. f(x)=(x-d)²+e (je nachdem wie du es gelernt hast) und die entsprechenden Koordinaten des Scheitelpunktes S(xs|ys) bzw. S(d|e) sind, kannst du nun ganz einfach den Scheitelpunkt ablesen.
Ich hoffe, dass die Erklärung geholfen hat, bei Fragen melde dich :))
LG ShD
Umformung durch quadratische Ergänzung
y=-3 *x^2 -6 *x + 9 (-3 ausklammern)
y= -3 * (x^2 + 2 *x) +9 binomische Formel (x +b)^2 =x^2 +2 * b *x +b^
2 *b *x =2*x ergibt b=1 und b^2=1
y= -3 *(x^2 + 2 *x + 1^2) +3 *1^2 + 9
Hinweis +3 * 1^2 musste hinzugefügt werden,weil die Gleichung nicht verändert werden darf.
würde man die Klammer ausmultiplizieren,dann würde man -3 *1^2 erhalten !!
der Ausdruckt +3 *1^2 neutralisiert dies !!
y=-3 * (x + 1)^2 + 12 auch hier wurde die binomische Formel angewendet
Scheitelpunktkoordinaten x=- a1/(2 *a2) und y=ao - (a1)^2 / (4 *a2)
allgemeine Form y=f(x)=a2 *x^2 + a1 * x +a0
Prüfe die Formeln mit einer Proberechnung auf Fehler !!