Formel erklären - induktiver und kapazitiver Widerstand

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4 Antworten

Zunächst einmal: Es ist zwar klar, was mit

w => Winkelgeschwindigkeit

gemeint ist, aber es ist normalerweise irreführend. »=>« (oder auch »⇒«) heißt soviel wie »impliziert« oder »daraus folgt«.

Außerdem ist w, meist ω genannt, in diesem Fall keine konkrete Winkelgeschwindigkeit, denn da rotiert ja nicht wirklich was, sondern es schwingt etwas - allerdings nicht im Sinne einer räumlichen Auslenkung, sondern im Sinne einer Oszillation von Spannung und Strom, und da heißt ω die Kreisfrequenz.

Sie unterscheidet sich von der Frequenz f durch den Faktor 2π, der aber eher eine abstrakte Bedeutung hat. Der Sinus und der Cosinus sind nun einmal 2π-periodisch.

Außerdem lässt sich eine d-dimensionale Schwingung als eine Art Rotation in einem 2d-dimensionalen Phasenraum (jeweils eine Dimension für Ort, je eine für Impuls) beschreiben, und in dem Sinne ist ω dann doch wieder so eine Art Winkelgeschwindigkeit.

...ich möchte aber gerne die Formeln in Worten erklärt...

Der Kapazitive Widerstand eines Kondensators in einem Wechselstromkreis ist umgekehrt proportional sowohl zur Kapazität C des Kondensators als auch zur Wechselstromfrequenz.

Zur Erklärung musst du Dir den Kondensator erst mal im Gleichstromkreis (ω=0) vorstellen. Jede Platte ist an eine Spannungsquelle angeschlossen, die eine Gesamtspannung U_{tot} erzeugt. Das elektrische Potential der Pole liegt also bei

(1.1) V_{Pol} = ±U_{tot}/2,

die der Platten ganz am Anfang bei

(1.2) V_{P±}(t=0) = 0.

In dem Moment, in dem die Platten angeschlossen werden, fließt also ein Strom I_{L±}(t), der jede Platte lädt. Zwischen den Platten herrscht dabei die wachsende Spannung

(2.1) U_P(t) = V_{P+}(t) - V_{P-}(t) = 2V_{P+}(t) → U_{tot},

während gleichzeitig die Spannung zwischen Pol und jeweiliger Platte auf

(2.2) ±U_{tot}/2 - V_{P±}(t) → 0

fällt. Dies geschieht freilich asymptotisch, genauer gesagt, exponentiell fallend, denn je geringer die in (2.2) genannte Spannung wird, desto geringer wird auch der Strom; der Vorgang bremst sich selbst aus. Dies geschieht umso schneller, je kleiner C (und natürlich auch, je kleiner der Ohm'sche Widerstand der Leitung zwischen Pol und Platte) ist.

(s. z.B. auch: http://elektroniktutor.de/analogtechnik/c_gleich.html)

--

Im Wechselstromkreis kehrt sich die Polarität ständig um, sodass die Stromstärken nah an ihrem Maximalwert und die Spannungen weit von ihrem Maximalwert entfernt bleiben; der Effekt ist umso stärker, je größer ω ist. Der Quotient aus maximaler Spannung und maximaler Stromstärke fällt mit wachsendem ω also auch.

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Das ganze kommt aus den zugehörigen Differentialgleichungen für den Spezialfall der Sinusförmigen Anregung:

Für den Kondensator gilt die Beziehung:

 C = Q/U umgeformt:

UC = Q 

Q ist das Integral des Stromes, daher leiten wir beide Seiten nach t ab, bedenke U ist auch abhängig von t:

C*du/dt = dQ/dt = i

Damit haben wir nun die Modellgleichung für einen Kondensator hergeleitet.

Man stelle sich nun vor es werde eine Sinusförmige Spannungsquelle an den Kondensator angeschlossen.

So folgt:

u(t)= u*sin(wt)

Damit folgt der Strom aus der Bauteigleichung zu:

i(t) = u*C*w*cos(wt)

Da es sich hier um zeitlich sinusförmige periodische Vorgänge handelt ohne Abklingende Elemente erweitern wir nun unsere Betrachtung auf den Komplexen Raum. Wir können dann nämlich unsere Sinus- und Kosinusfunktionen durch Komplexe Exponentialfunktionen darstellen:

mit u(t) = Im{ u*e^(i*wt)}  , da e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Die folgende Betrachtung wenden wir nur an, wenn alle abklingenden Elemente nicht mehr vorhanden sind, und wir unsere Funktionen als Projektion von wohldefinierten ( feste Länge, feste Relationen) um den Ursprung rotierenden Zeigern in der komplexen Zahlenebene darstellen können.

Diese Zeiger/Phasoren sind dabei die Anteile an der Komplexen Funktion ohne das e^(iwt). Die Stellen sogesehen die Spannung, den Strom, den Widerstand dar.

Mit diesen Überlegungen definiert man analog:

Z = U/I. ---> für unseren Fall folgt damit mit den komplexen Zahlen:

Z = u/(i*w*u*C) = 1/(i*w*C)   

mit dem Blindwiderstand:

X = 1/(wC)

Ähnliche Überlegungen für die Spule führen zu:

U = L*di/dt

i(t) = i*sin(wt)  und daraus analog zu oben X = wL

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kann es nur mit meinem Schulwissen beantworten :

induktiver Widerstand steigt mit zunehmender Frequenz. Weil der induzierte Strom seiner Ursache entgegenwirkt. Je mehr Änderung, desto mehr Widerstand. Stichwort Wirbelstrombremse.

Eine Spule setzt jeder Änderung im Magnetfeld erstmal selbiges entgegen.

kapazitiver Widerstand sinkt mit zunehmende Frequenz, weil die jeweilige Ladung ja erstmal irgendwie gespeichert werden muss. So etwas wie ein Stossdämpfer. Stichwort Glättung.

Ein Kondensator nimmt Ladung auf und gibt sie irgendwann wieder ab, unabhänging von Magnetfeld & Co.

Du kannst die Formeln nie richtig begreifen, wenn Du nicht weisst, was genau da passiert. Hast Du das erstmal , ist die Formel nur noch eine Art Rezept.

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Kommentar von roromoloko
07.07.2016, 23:49

Danke, das stand auch in meinem Buch, ich hätte es genauer formulieren sollen und zwar geht es mir um die Winkelgeschwindigkeit.. Soll es einfach eine Bewegung anzeigen, wodurch eine Induktion entsteht? Aber wo dreht sich was in einer Kreisbewegung?

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