Fibonacci Wettbewerb 1225?
Man suche eine rationale Zahl, deren Quadrat um 5 vermehrt wie auch um 5 vermindert, wieder ein Quadrat ergibt.
Wie sieht das in einer Gleichung aus und wie kommt Fibonacci da auf 41/12?
1 Antwort
Wie sieht das in einer Gleichung aus
Das ist keine einzelne Gleichung, sondern ein Satz der zwei Gleichungen beinhaltet.
Zum gesuchten y ∈ ℚ existieren x, z in ℚ, sodass x² = y² - 5 und z² = y² + 5.
Hier gibt es einen Zusammenhang zu pythagoreischen Tripeln und zwar, wenn
a² + b² = c² für a, b, c ∈ ℚ, dann
haben (a - b)², a² + b² = c², (a + b)² jeweils den Abstand 2ab.
Man kann die Zahlen jeweils mit einem Faktor k ∈ ℚ multiplizieren, sodass man aus einem Abstand 2ab den Abstand 2abk² bekommt.
Das Problem wurde somit auf ein anderes zurückgeführt, nämlich ein passendes pythagoreisches Tripel zu finden. Diese kann man mit einer Formel erzeugen, die das Suchen erleichtert:
Die Aufgabe ist es jetzt passende m, n und k zu finden, sodassDabei können m und n als ganzzahlig und teilerfremd angenommen werden, weil man ansonsten den Hauptnenner bzw gemeinsamen Faktor in der vierten Potenz ausklammern könnte. Die vier am Anfang kann man an dieser Stelle auch noch als Teil des quadratischen Koeffizienten sehen. Im Endeffekt sucht man teilerfremde m und n, sodass mn(m+n)(m-n) das fünffache einer Quadratzahl ist. Eine Lösung ist m = 5 und n = 4, dann ist m + n = 9 und m - n = 1 und somit mn(m+n)(m-n) = 5⋅4⋅9⋅1. Dagegen würde z.B. m = 3 und n = 2 nicht funktionieren, weil dann mn(m+n)(m-n) = 3⋅2⋅5⋅1, aber 3 und 2 nicht im Quadrat auftauchen.
Für die Lösung m = 5 und n = 4 ergeben sich
Die Quadratzahlen haben jeweils den Abstand 720:
Nun kann man die 720 noch mit dem quadratischen Faktor multiplizieren, um auf 5 zu kommen. Die Gleichungen müssen hier durch 12² dividiert werden.