Fakultäten?
Hi, ich habe etwas Probleme bei dieser Aufgabe. Ich bin mir nicht sicher bei meiner Vereinfachung.
Gruß
1 Antwort
Sorry, aber schon für n=1 liefert deine Vereinfachung a₁=0. Der Originalterm ist aber ≠0.
Macht aber nix, denn du sollst ja den Quotienten a(n+1)/a(n) vereinfachen, und da fliegt das meiste sowieso raus. Es lohnt sich vermutlich nicht, den Term vorher schon zu kürzen.
Schreibe zuerst den Term a(n+1) auf und bringe ihn in eine Form, die a(n) ähnelt. Statt (n+1)! kannst du z.B. n!·(n+1) schreiben, statt 6^(n+1) schreibe 6^n·6 usw.
Jetzt bilde den Quotienten a(n+1)/a(n) via
Zähler(n+1) · Nenner(n)
−−−−−−−−−−−−−−−
Nenner(n+1) · Zähler(n)
und kürze, was das Zeug hält.
Zur Probe kannst du a(1) und a(2) berechnen und dann schauen, ob dein gekürzter Bruch für n=1 auch wirklich den Wert a(2)/a(1) liefert.
Verwende
- [ (n+1)! ]² = [ n!·(n+1) ]² = n!² · (n+1)²
- [ 2(n+1) ]! = [ 2n+2 ]! = (2n)! · (2n+1)·(2n+2)
Da fehlt schon mal der Faktor 3 im Nenner (von 6ⁿ).
Ich komme auf aₙ₊₁ =
n!² · (n+1)² · 8 · √8²ⁿ⁺¹
−−−−−−−−−−−−−−−
(2n)!·(2n+1)·(2n+2)·6·6ⁿ
Das Fette kürzt sich beim Teilen durch aₙ raus. Außerdem kann man noch 8/6 und 2(n+1)/(2n+2) kürzen. Also:
aₙ₊₁/aₙ = ⅔·(n+1)/(2n+1)
Probe:
a₁=16√2/12=4/3·√2; a₂=4·128√2/(24·36)=16/27·√2
(16/27·√2) / (4/3·√2)=4/9 und ⅔·(1+1)/(2+1)=4/9 − passt!
Ich hänge grad an dem Schritt:
Zähler: (n+1!)^2 * 4 * (2n)!
Nenner: (2n+1)!*3*(n!)^2