Extremal aufgabe hilfe
allso ich war bis vor 4 tagen im austausch in den USA und mein amthe lehrer meint das ich morgen einen test schreiben soll -.- da wo eine frage kommt wie folgt: "das abgebildete stadion aht die fprm eines rechteks mit zwei halbkreisen neben dran. de rumfang beträgt 400m welche maße muss das rechteck erhalten damit seine fläche maximal wird?....kann mir das vlt jemand vor rechnen den ich kann es einfach nicht und der man versteht das nicht -.-
3 Antworten
Bei solchen aufgaben hast du normalerweise einen Maximalen Wert gegeben, den ein Objekt oder ein Zustand nicht überschreiten darf.
Dann stellst du zuerst mal eine Hauptbedingung auf: In diesem Fall sowas wie : Gesucht ist Amax = a*b ( A steht hier für Fläche), oder f(x) -> Amax(a*b)
Danach stellst du eine Nebenbedingung auf. Dort nimmst du die Fläche oder was auch immer du berechnen sollst und setzt sie in ein Verhältniss zu dem Maximalen/Minimalenwert den du gegeben hast.
Bsp. Das Stadion besteht aus einem rechteck und 2 Halbkreisen an den Seiten und soll für einen gesamten Umfang des Stadions von 400 Meter maximal groß sein.
Also:( Amax=) 2* b + 2* r * Pi
Höchst wahrscheinlich hast du noch weitere Werte gegeben. Ich habe hier beispielsweise den Radius von der Größe x . Außerdem entsprechen 2 * x einer Seite des Rechtecks, also a. => r= x = 1/2 a ( Ich habe diese Infos aus dem Lambacher Schweizer).
Danach stellst du die Formel für den Umfang nach b um, also:
400=2Pi*x+2b zu...
b= 200-Pi*x
das setzt du nun in die Zielgleichung ein, also :
A=2x*(200-Pi*x) zu....
A(x)= -2pix²+400x
Jetzt nach Extremstellen suchen mir der ersten Ableitung
A'(x)= -4pix+400 zu
A'(x)= -pix+100
X ist also Pi/100
Jetzt setzt du das in b= 200-Pi*x ein und das ergibt....
b=200-100
b=100
Nun setzt du in die Hauptbedingung a und b ein ,also:
A(x)= 2x*100
A(x)= 2*(100/Pi)*100
A(x)= 63,66*100
A= 6366m²
Hoffe das hat geholfen.
Allgemeiner Lösungsweg für diesen Typ von Extremwertaufgaben:
1.) Zwei Bedingungen finden
2.) Bei der Bedingung, wo am meisten gegeben ist, nach einer Variablen umstellen.
3.) Die umgestellte Form in die andere Bedingung einsetzen
4.) Mit dem Taschenrechner oder von Hand den geforderten Extremwert ausrechnen (Hoch/Tiefpunkt)
Also hier:
Das Stadion besteht aus einem Rechteck mit zwei Halbkeisen an der Seite. Ich habe die Seiten nach der Skizze im Anhang benannt.
Der Umfang der beiden Halbkreise(=zusammen ein ganzer Kreis) muss in Abhängigkeit vom Rechteck angegeben werden: u=d*π
da d (Durchmesser des Kreises)= a -> u=a*π
Der Gesamtumfang sind die beiden Halbkreise + 2*b
-> a*π+2b=400m (erste Bedingung)
Amax=a*b ist die zweite Beingung, denn so lässt sich die Fläche des Rechtecks ausrechnen und danach ist gefragt.
dann die erste umstellen ->
b= 400/2-(a*π)/2=200-(a*π)/2
in die zweite einsetzen:
Amax=a*(200-(a*π)/2)=a²*(π/2)+200a
Jetzt den Hochpunkt ausrechnen, da nahc dem maximalen Flächeninhalt gefragt war.
Mein Taschenrechner sagt hier x≈63,66 y≈6366,20
Der x-Wert gibt unsere Lände für a an, bei der die Fläche des Rechtecks maximal wird, der y-Wert gibt den maximalen Flächeninhalt an (falls der mal gefragt sein sollte).
über den a-Wert kann man jetzt b ausrechnen, praktischerweise steht einige Zeilen weiter oben schon die nach b umgestellte Form.
Viel Glück in der Arbeit.
das hatten wir doch schon, kannst du denn ableiten? oder macht ihr das mit scheitelpunkt?