Allgemeiner Lösungsweg für diesen Typ von Extremwertaufgaben:
1.) Zwei Bedingungen finden
2.) Bei der Bedingung, wo am meisten gegeben ist, nach einer Variablen umstellen.
3.) Die umgestellte Form in die andere Bedingung einsetzen
4.) Mit dem Taschenrechner oder von Hand den geforderten Extremwert ausrechnen (Hoch/Tiefpunkt)
Also hier:
Das Stadion besteht aus einem Rechteck mit zwei Halbkeisen an der Seite. Ich habe die Seiten nach der Skizze im Anhang benannt.
Der Umfang der beiden Halbkreise(=zusammen ein ganzer Kreis) muss in Abhängigkeit vom Rechteck angegeben werden: u=d*π
da d (Durchmesser des Kreises)= a -> u=a*π
Der Gesamtumfang sind die beiden Halbkreise + 2*b
-> a*π+2b=400m (erste Bedingung)
Amax=a*b ist die zweite Beingung, denn so lässt sich die Fläche des Rechtecks ausrechnen und danach ist gefragt.
dann die erste umstellen ->
b= 400/2-(a*π)/2=200-(a*π)/2
in die zweite einsetzen:
Amax=a*(200-(a*π)/2)=a²*(π/2)+200a
Jetzt den Hochpunkt ausrechnen, da nahc dem maximalen Flächeninhalt gefragt war.
Mein Taschenrechner sagt hier x≈63,66 y≈6366,20
Der x-Wert gibt unsere Lände für a an, bei der die Fläche des Rechtecks maximal wird, der y-Wert gibt den maximalen Flächeninhalt an (falls der mal gefragt sein sollte).
über den a-Wert kann man jetzt b ausrechnen, praktischerweise steht einige Zeilen weiter oben schon die nach b umgestellte Form.
Viel Glück in der Arbeit.
