Bis wie viel Grad spricht man von Kleinstwinkeln?

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4 Antworten

Die Ursache sieht man schön in der Reihenentwicklung beider Funktionen:

sin(x)=x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040+x^9/362880-...
tan(x)=x+x^3/3+x^5*2/15+x^7*17/315+x^9*62/2835+...

wobei x in der SI-Einheit rad vorgegeben ist.

Die veraltete Einheit ° ist um den Faktor 180/Pi größer -> also schauen wir uns die Differenz-Funktion an:

tan(x*PI/180)-sin(x*PI/180)  siehe Bild

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm\_Scientific\_plotter.htm

In der Schule reicht meist eine Genauigkeit von 3 Nachkommastellen (viel genauer sind viele Billig-Taschenrechner auch nicht!).

Bei 7.21 ° ist diese Grenze erreicht (Tangente funktioniert nur, wenn Punkte=auto)

Oft rundet man auf und sagt: bei Winkel kleiner 10° sind die Differenzen der Funktionen sin(x) und tan(x) vernachlässigbar klein.

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Das kommt darauf an, was du unter "ungefähr gleich" verstehen willst.

Weil tan(x) = sin(x) / cos(x) ist, ist tan(x) genau dann "ungefähr gleich" sin(x) wenn cos(x) "ungefähr gleich" 1 ist

cos(1) = 0,99985    ca. 0,015%
cos(2) = 0,99939    ca. 0,06%
cos(3) = 0,99863    ca. 0,14%
cos(10) = 0,98481  ca.1,5%
cos(20) = 0,93969  ca. 6%

(Winkel in Grad gemessen, Vollwinkel = 360°)

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Wenn der Winkel kleiner gleich 10° ist, kann man die Kleinwinkelnäherung benutzen.

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Also auf jeden Fall bei Epsilon. ;-))

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