Auffinden von Polynomfunktionen?
Hallo ich komme bei einem Beispiel leider überhaupt nicht weiter und würde mich freuen, wenn mir jmd. weiterhlfen könnte :)
Bsp: Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades besitzt an der Stelle -1 eine Wendestelle mit der Wendetangente t: 6x+3y=-5. Die Steigung an der Stelle -3 ist 6. Bestimme die Funktionsgleichung von f.
Also ich bin zumindestens so weit gekommen, dass ich herausgefunden habe, dass f''(-1)=0 und f'(-3)=6 aber weiter komme ich leider nicht, weil ich nicht weiß, was ich mit der Wendetangente anfangen soll.
Es wäre wirklich sehr nett wenn es mir jmd. erklären könnte! :)
3 Antworten
Wendetangente nach y umstellen :
y = - 2 * x - (5 / 3)
Die Wendetangete bedeutet f´(-1) = - 2 weil das der Faktor vor dem x ist.
Außerdem y = f(x) = -2 * (-1) - (5 / 3) = 1 / 3
Informationen die du nun kennst :
f(-1) = 1 / 3
f´(-1) = - 2
f´´(-1) = 0
f´(-3) = 6
Nun das Gleichungssystem aufstellen :
f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d
f´(x) = 3 * a * x ^ 2 + 2 * b * x + c
f´´(x) = 6 * a * x + 2 * b
I.) a * (-1) ^ 3 + b * (-1) ^ 2 + c * (-1) + d = 1 / 3
II.) 3 * a * (-1) ^ 2 + 2 * b * (-1) + c = - 2
III.) 6 * a * (-1) + 2 * b = 0
IV.) 3 * a * (-3) ^ 2 + 2 * b * (-3) + c = 6
Gleichungssystem lösen :
a = (2 / 3)
b = 2
c = 0
d = - 1
Also :
f(x) = (2 / 3) * x ^ 3 + 2 * x ^ 2 - 1
Allgemein erst mal y = ax³ + bx² + cx + d also brauchst du 4 Angaben, mit denen du über ein Funktionssystem mit den Variablen a, b, c und d diese heraus bekommst. Eine Tangente ist gleichbedeutend mit der jeweiligen Ableitung! Die Funktion der Wendetangente ist also die 2. Ableitung y '' =....(nach y umformen)
was ich mit der Wendetangente anfangen soll.
Am Wendepunkt stimmen Funktionswert und Steigung von t und f überein.