1 und 0 sind doch stetig, also muss doch das Integral integrierbar sien, wegen stückweiser Integrationsmöglichkeit?
Die Begründung konnte ich nicht ganz nachvollziehen.
1 Antwort
Das Riemann-Integral existiert genau dann, wenn die Unter- und Obersummen gegen denselben Wert konvergieren für immer kleinere Rechtecke.
In dem Fall ist die Untersumme immer 0, denn in jedem noch so kleinem Intervall mit positiver Länge befinden sich irrationale Zahlen. Die Rechtecke der Untersummen haben immer die Höhe 0. Die Obersumme ist in dem Fall immer 5, denn in jedem noch so kleinem Intervall mit positiver Länge befinden sich rationale Zahlen. Die Rechtecke der Obersummen haben immer die Höhe 1.
Diese Dirichlet-Funktion ist das bekannteste Beispiel für Lebesgue-Integrierbarkeit aber nicht Riemann-Integrierbarkeit.
Die Funktion ist nicht stetig und das muss sie auch nicht sein. Die Summen müssen nur konvergieren. Wenn man die Punkte mit dem Wert 0 und die mit dem Wert 1 getrennt betrachtet, kommt man zum Lebesgue-Integral. Du kannst den Definitionsbereich aber nicht in Intervalle zerlegen auf denen die Funktion stetig ist.