Darf die Tankstelle den Verkauf von Alkohol an einen sichtlich Betrunkenen verweigern, wenn dieser zu Fuß unterwegs ist?

Klar dürfen sie das. Es ist keine öffentliche Einrichtung die Dir als Bürger irgendwas verpflichtet sei.

Sie haben das Recht den Verkauf an bestimtme Personen zu Untersagen bzw. nicht durchzuführen.

Kein Verkäufer MUSS irgendjemandem was verkaufen. Der kann auch der netten Dame von nebenan sagen, dass sie nichts bekommt (wohl eher unwahrscheinlich).

Doch, die haben wie jeder Laden Hausrecht.

Wird aber eher nicht passieren, solange es zu keinem sichtlichen Fehlverhalten kommt.