Zeigen Sie, dass a² + 5b² kein Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Für alle a, b ∈ natürlichen ungeraden Zahlen?
Hallo erstmals,
leider weis ich nicht, wie ich den Beweis führen kann. Ich habe schon bewiesen, dass a² + 5b² gerade ist.
a und b habe ich wie folgt definiert:
a= 2k+1 und b= 2k´+1 mit k, k´ Element aus den natürlichen Zahlen (inkl. 0)
Da a² + 5b² = 4k² + 4k + 20 k´² + 20k´ + 6 ist, dachte ich mir dass ich eventuell durch das Wurzelziehen auf den Beweis komme. Leider weiß ich nicht weiter.
Ich bedanke mich schon mal im Vorhinein.
2 Antworten
Hier mal meine Überlegungen. Den Rest überlasse ich mal dir, es fehlen nur noch ein paar Zeilen. Ob das jetzt der eleganteste Weg ist, sei dahingestellt, aber er sollte funktionieren.
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Wenn a und b ungerade sind, dann gibt es natürliche Zahlen c und d so, dass gilt: a=2c+1 und b=2d+1. Damit ist dann:
a²+5b²=(2c+1)²+5(2d+1)²
=4c²+4c+6+20d²+20d
=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
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Nun nehme man an, das ganze sei eine natürliche Quadratzahl e²:
e²=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
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Fall I.: e ist gerade.
=> Es gibt ein f, sodass e=2f.
=> 4f²=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
=>2f²=2c²+2c+3+10d²+10d
=> -3=2(c²+c-f²)+10d(d+1)
Zeige nun, dass dies für natürliche c,d,f nicht möglich ist.
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Fall II.: e ist ungerade
=> Es gibt ein g, sodass e=2g+1
=> (2g+1)²=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
=>4g²+4g+1=2(2c²+2c+3+10d²+10d)
=>1=2(2c²+2c+3+10d²+10d)-4(g²+g)
Zeige nun, dass dies für natürliche c,d,g nicht möglich ist.
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Wenn du das gemacht hast, ist der Beweis erbracht, denn es gibt nur diese zwei Fälle für e. Wenn beide Fälle niemals gelten können, gibt es ein solches e wie in der Annahme nicht. Die Annahme ist also falsch, deshalb muss das Gegenteil stimmen, also ist der Kram keine Quadratzahl.
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Tipp für beide Fälle: Du kannst noch 'ne 2 ausklammern und logischerweise auch durch diese teilen.
danke vielmals @MeRoXas.
also muss ich nurmehr zeigen, dass in beiden Fällen ein Widerspruch zustande kommt.
Danke Euch beiden für die schnelle Hilfe.
- ist das vllt n Fall für vollständige Induktion? also so Diagonalen durch
- ich mein: wegen k und k'
- also für k=k'=1 ist es 4·1²+4·1+20·1+20·1+6=54 und damit haben wir den Induktionsanfang...
- dann nehmen wir an, dass es für (k;k') schon bewiesen ist... und fragen uns, ob es für den Nachfolger von (k;k') auch stimmt... also:
- Fallunterscheidung:
- (a) k>0: (k-1 ; k'+1)
- (b) k==0: (k+1 ; 0)
- hilft das was?
- nö oda? heul
- habt ihr kein Lehrbuch bekommen, in dem es fast schon drin steht?
- n Heuser? oder was man bei Zahlentheorie so hernimmt?
- ja beim Induktionsbeginn...
- ach so: du solltest na klar k=k'=0 nehmen... *blush*
- echt? der Ansatz hilft? wer hätte das gedacht? ich seh da nämlich immer noch nix... :)
- magst du s hier weiter erläutern? oder hast keine Zeit?
Danke für die schnelle Antwort @RIDDICC.
Nein haben wir nicht. Im Skriptum wird das auch nicht genauer erläutert.
Darf man bei der Induktion annehmen, dass k und k´ = 1 ist?
Den Induktionsbeweis verstehe ich und der hat mir wirklich weitergeholfen, danke nochmals. Leider hatte ich noch nie einen Induktionsbeweis mit zwei Variablen.