Wie beweist man, dass zwei Mengen gleichmächtig sind?
Hallo
Ich habe eine Übungsaufgabe wo ich Beweisen muss, dass die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der ganzen Zahlen ist.
Sowie die Menge der ungeraden zu den Gerade Zahlen gleichmächtig ist.
WIe wird sowas im Detail gemacht? Durch einen sogenannten "direkten Beweis" ?
LG
3 Antworten
2 Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine "Bijektive" abbildung zwischen ihnen gibt, also eine "Pärchenbildung" möglich ist. Wenn eine Menge so eine Pärchenbildung auf eine TEILmenge einer anderen Menge hat, ist sie mächtiger als diese.
In deinen beiden konkreten Beispieln musst Du also eine Pärchenbildung formelmäßig beschrieben. Wenn Du das kannst, sind die Mengen gleichmächtig.
Willi1729 hat dafür unten ja schon eine Möglichekit für die erste Teilfrage gegeben. Für die zweite ist die Lösung trivial, indem Du sagst f(x) = -x ist die Abbildungsfunktion.
Hallo,
Du zeigst, daß Du jeder ganzen Zahl eine eindeutige natürliche Zahl zuordnen kannst.
Das geht zum Beispiel, indem Du der 1,2,3...k die 1,3,5...2n-1 zuweist,
und den negativen Zahlen -1,-2,-3...-k die geraden Zahlen 2,4,6...2n.
Wenn Du die Null mit in die natürlichen Zahlen hineinnimmst, kannst Du für die 0 ebenfalls die Null nehmen, ansonsten verschiebst Du alles um 1.
Jedenfalls ist eine eindeutige Zuordnung möglich.
Somit sind die beiden Mengen gleichmächtig.
Herzliche Grüße,
Willy
Du musst eine Abbildung finden, die jeder ganzen Zahl eine natürliche Zahl zuordnet. Du hast also
... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Stelle dir diese Zahlen auf Zettel geschrieben vor. Und nun willst diese Zahlen auf einen Haufen stapeln. Aber wenn jemand kommt und fragt: "Wo hast du die -253 hingetan?", darfst du nicht sagen: "Die habe ich noch nicht eingeordnet. Ich muss doch zuerst unendlich viele positive Zahlen ordnen, bevor ich zu den negativen komme." Sondern du muss sofort sagen können: "Sie liegt an der ...-ten Stelle."