Mengenlehre Eigenschaften?
Durch Ausdrücke wie "prim", "gerade", "teilbar durch 3" sind wohlbestimmte Eigenschaften von natürlichen Zahlen, also auch Mengen von natürlichen Zahlen beschrieben.
Gilt dasselbe auch für die Ausdrücke "einstellig", "zweistellig", symmetrisch"?
Wie wären diese ggf. zu präzesieren, damit wohlbestimmte Zahlenmengen (Teilmenge "Natürlicher Zahlen" beschrieben sind?
3 Antworten
Einstellig und zweistellig hängen von der Darstellung ab, eine natürliche Zahl kann ich ja z. B. auch im Dualsystem darstellen, dann verändert sich die Anzahl der Stellen - die gleiche Zahl kann z. B. als 7 (im Zehnersystem) oder als 111 (im Dualsystem) oder also 21 (im System mit der Basis 3) dargestellt werden.
Dasselbe gilt auch für die Symmetrie: 11011 im Dualsystem ist symmetrisch, aber dieselbe Zahl im Dezimalsystem nicht, da ist das 27.
Wenn du also mit den Eigenschaften "einstellig", "zweistellig" und "symmetrisch" wohlbestimmte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen beschreiben willst, dann musst du auch sagen, auf welches Zahlsystem du diese Eigenschaften beziehst.
Okeyy jetzt wirds mir schon langsam klar, aber wie kann man das anhand der Menschenschreibweise definieren, also das System???
Es geht, wie so oft in der Mathematik, einfach danach, dass die verwendeten Ausdrücke wohldefiniert sind. Wenn du so etwas wie "zweistellig" angibst, könnte man das genauer fassen, in dem man sagt, alle zahlen a die dargestellt werden können durch:
mit
Damit wäre dann genau festgelegt, was gemeint ist. Dann könnte man argumentieren, ob Dezimalzahlen, Brüche oder auch negative Zahlen dazu zählen, aber das hast du ja schon mit der Bedingung als Teilmenge der natürlichen Zahlen abgedeckt.
Genau, das war mein Versuch das ganze mit der Menge M abzudecken. Das Fazit meiner Antwort sollte sein: Nein, es ist erstmal nicht wohldefiniert, nur wenn man genau beschreibt, was gemeint ist, so dass keine Zweideutigkeit entsteht. Man hätte hier evtl. noch dazu schreiben sollen, dass die Dezimaldarstellung genutzt werden soll, da hast du recht.
Kenne ich eher aus der Umgangssprache als aus der Mathematik.
Wohldefiniert ist eine Definition dann, wenn sie repräsentantenunabhängig ist, es geht nicht darum, dass man das schöner aufschreibt.
Das heißt: Ich habe die Menge natürlicher Zahlen. Die haben zunächst auch gar keine Bezeichnungen, dass die gerade 1,2,... usw. heißen ist bereits eine bestimmte Form der Darstellung. Ich könnte die Menge auch als eins, zwei, drei, vier, fünf,... beschreiben, das würde nichts daran ändern, dass das natürliche Zahlen sind, ich könnte auch Turnschuh, Spaghetti, Wolkenbruch... sagen, hätte dann aber das Problem, dass ich dann irgendwo hinterlegen müsste, welche Zahl welchem Wort entspricht.
Jede dieser Zahlen kann ich also auf ganz unterschiedliche Weisen darstellen, wichtig ist nur, dass immer die Axiome der Definition von N erfüllt sind.
Die Zahl, die durch die 5 beschrieben wird, bleibt eine Primzahl, auch wenn ich sie als 101 (im Binärsystem) oder als fünf oder sonstwie bezeichne. Daher führt die Eigenschaft "prim" zu einer wohldefinierten Menge, sie ist unabhängig von der Darstellung. Bei der Eigenschaft "einstellig" ist das nicht so - die gilt nur für einen bestimmten Repräsentation der Zahl.